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conque de ses poinl-^. Finfin, nous dirons qu'un ensemble g est compact s'il 

 existe toujours au moins un point commun à une suite infinie quelconque 

 d'ensembles g^, g.,, . . ■ , g,n • • • . contenus dans g lorsque ceux-ci sont fer- 

 més et chacun contenu dans le précédent. 



Ceci étant, nous avons pu démontrer pour cet espace E„ à une infinité 

 dénombrable de dimensions les principaux tliéorèmes énoncés dans l'es- 

 pace ordinaire et cela, directement, sans supposer connus ces derniers. 



I. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de points de 

 t'espace E„ soit compact est que cet ensemble soit limité ('). 



II. V ensemble dérivé d'un ensemble de points de E„ est fermé. 



III. Tout ensemble non dénombrable et limité de points de E, donne lieu à, 

 au moins, un point de condensation. 



IV. Tout ensemble limité et fermé F de points de E„ peut se décomposer en 

 deux ensembles sans points communs, l'un dénombrable, l'autre parfait. Ce 

 dernier est formé par l'ensemble des points de condensation de F. 



V. Dans tout ensemble parfait et limité P de points de E^, on peut trouver 

 un ensemble dénombrable dont P soit le dérivé. 



VI. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble limité F de 

 points de E„ soit fermé est que l'on puisse toujours remplacer par un nombre 

 fini d'entre eu.x jouissant de la même propriété les ensembles I d'une même 

 famille G te/le que tout point de F soit intérieur au sens étroit (-) à l'un au 

 jnoins des ensembles I. 



Les propositions précédentes doivent jouer dans le calcul fonctionnel un 

 rôle analogue à celui de leurs cas particuliers (pour l'espace à une ou deux 

 dimensions) dans la théorie des fonctions. Leur utilité au point de vue 

 des applications n'est donc pas douteuse. Je pense pouvoir eu indiquer 

 prochainement quelques-unes. 



(') Depuis longtemps, M. Monlel possède la ilémonslrallon >\\u\ lliéorènie qui, d'après 

 le paragraphe IV de la Note déjà citée, est identique à la condition suffisante de notre 

 énoncé. Ce théorème, qui lui a fourni de nombreuses applications dans la théorie des 

 fonctions, est le suivant : Tout ensemble limité rie points de E„ possédant une infinité 

 de points distincts donne lieu à au moins un point limite. 



{"-) C'est-à-dire soit un pjint de I non limite de points de V n'appartenant pas à 1. 



