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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les trajectoires orthogonales 

 d'une famille de surfaces. Noie de M. Gaston Darboux. 



I . Dans une Note placée à la suite d'une Communication de M. S. Car- 

 rus (p. 211 de ce Tome), j'ai présenté quelques remarques relatives à 

 l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui définit les surfaces 

 dont les trajectoires orthogonales sont planes. Je me propose aujourd'hui 

 de montrer que ces remarques se rattachent à une théorie générale et 

 peuvent être étendues aux cas où les trajectoires orthogonales de la famille 

 de surfaces considérée doivent satisfaire à des conditions très variées. 



Soit 



(i) /(a7, j, s) = const. 



l'équation en coordonnées rectangulaires d'une familk; de surfaces. Si l'on 

 introduit, comme je l'ai déjà fait, une variable auxiliaire /, les trajectoires 

 orthogonales de la Famille seront définies par les équations aux dérivées 

 partielles 



(.\ dœ^df dy^<V ±_àl 



^ ' dt dx' dl dy' de dz' 



Cela posé, considérons une surface déterminée «p, définie par l'équation 



(3) tC'^' v> z, a,, a.,, .... a„) = o, 



qui contient n paramètres a,, a^, .. . , a„. La surface <p sera, par exemple, 

 un plan, une sphère, une quadrique, etc., assujettis ou non à certaines 

 conditions. Proposons-nous de disposer des paramètres a^, a.,, . . . , a,, de 

 telle manière que la surface <p ait, avec une des trajectoires orthogonales 

 des surfaces définies par l'équation (i), le contact le plus élevé possible. 

 On déterminera ainsi ce que l'on appelle d'ordinaire les surfaces «p oscula- 

 irices aux trajectoires. Si l'on désigne pir le symbole A l'opération 



djc dj: ày ûy àz dz 

 et si Ion pose 



(4) 9, = A9,_,= ^, 



