SÉANCE DU 6 MARS fgoS. 619 



les paramètres a,, a„, ..., a„ de la surface 9 osculatrice, au point (^, y, 0), 

 à la trajectoire orthogonale qui passe en ce point devront satisfaire aux 

 équations 



(5) <p := O, Ç, = O, ..., (p„_, = 



qui les détermineront en général. Ces paramètres a,, a^, . . . , a„ deviendront 

 ainsi des fonctions de x,y, z et des dérivées des n — i premiers ordres de f. 



2. Cela posé, proposons-nous de chercher toutes les familles de sur- 

 faces/pour lesquelles la surface oscuUitrice cp est la même pour tous les 

 points de chaque trajectoire orthogonale, c'est-à-dire pour lesquelles 

 chaque trajectoire orthogonale est sur une des surf;ices ip définies par 

 l'équation (3). 



S'il en est ainsi, on pourra évidemment ajouter aux équations (5) les 

 suivantes, en nombre indéfini, 



<p„ = o, ç„^, ,= 0, .... 



Nous allons voir qu'il suffit d'adjoindre la première 



(6) <P„=o, 



et qu'en portant dans cette équation les valeurs de a,, a.^, ... , a„ déduites 

 des équations (5), on aura l'équation aux dérivées partielles du n'^™' ordre, 



(7) i2 = o, 



qui donnera la solution du problème proposé. 



En effet, reprenons les équations (5) et appliquons à chacune d'elles 

 l'opération que nous avons désignée par le symbole A. En tenant compte 

 de ces équations elles-mêmes, nous serons conduits au système suivant : 



-Y^àa, -{-... -h ^Y^ ^a„ —o, 

 aa, ' ûa„ 



(8) -^-^Aa, +...+ ^-^Aa„ 



'^Aa.4-...+ ^Aa„ = 



et l'on voit que, tant que le déterminant 



D = |^| ^^="' 



\àau\ {k = \, 2,3, ..., n) 



(g) r._l^'f-l (^'=0, 1,2, ...,«-,) 



