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ne sera pas nul, l'équation (6) entraînera cette conséquence qu'en chaque 

 point de l'espace on aura 



— -^ — o 



c'est-à-dire que les fonctions «, demeureront constantes lorsqu'on se dépla- 

 cera sur une même trajectoire orthogonale. 



Ainsi, toutes les solutions de l'équation (7) pour lesquelles le détenuinant D 

 ne s'annule pas donneront des solutions du problème proposé. 



3. De là résulte immédiatement un mode de détermination de ces solu- 

 tions qui constitue une véritable intégration partielle de l'équation (7). 

 Puisque les fonctions a^, a,, ..., a„ demeurent constantes en tous les 

 points d'une même trajectoire et ne dépendent par conséquent que des 

 deux paramètres qui suffisent à déterminer cette trajectoire, il est clair 

 qu'elles sont toutes fonctions de deux quelconques d'entre elles et qu'en 

 établissant, par exemple, « — 2 relations 



(10) a, = e,(rt,,rt,) (/= 3,4, ..., n), 



on aura n — 1 intégrales premières de l'équation (-). C'est là un résultat 

 très intéressant, mais il est inutile de s'y arrêter. Il vaut mieux porter les 

 valeurs ^/(a,,^^) de a, a„ dans l'équation (3) qui prendra la forme 



(il) 'l>(.r.r, -,«,,«2) = o< 



et comme cette nouvelle équation ne contient plus que deux constantes, 

 on voit que la solution du problème proposé sera ramenée à l'intégration de 

 l'équation du second ordre que l'on obtient en éliminant «,, a., entre l'équa- 

 tion (il) et les deux suivantes 



A<î> = o, A-<î> = o. 



Nous avons effectué ainsi, en introduisant n — 1 fonctions arbitraires, 

 n — 1 intégrations successives de l'équation proposée ( 7). 



4. Dans la discussion qui précède, nous avons négligé les solutions de 

 l'équation (7) pour lesquelles le déterminant D serait nul: Il est facile de 

 voir qu'il existe en général de pareilles solutions. 



Remarquons d'abord que. si l'on porte les valeurs dew,, o,. • ••.«'« déter- 

 minées par les équations (5) dans le déterminant D, la relation 



(12) D = o 



