698 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



formules (2) définiront évidemment une surface réelle (I) applicable sur 

 le ])araboloiile proposé. Eu y changeant le signe de 9, ç,, 9^, on obtiendra 

 les foi-mules suivantes : 



(5) .r'=^'(.A? -f 9-^ + '-if{fAf -f if-^-^-^ fi^-A^ -?4.). 



qui détermineront une nouvelle surface réelle (-'). Cette surfiice sera, elle 

 aussi, applicable sur le paraboloïde proposé. Les deux surfaces (i), (i') 

 sont tangentes à la droite qui unit leurs points correspondants M, M' et 

 elles consliLuent les deux nappes de la développée d'une surface normale 

 à toutes les positions de la droite MM'. 



2. Si l'on définit la fonction H par l'équation 



(6) H=/<p+/.9,+/,9„ 



on reconnaît immédiatement que cette fonction est réelle et positive et 

 même supérieure à i. On peut poser 



/ cp (1/ + d'à 



il) /. ?< ^A + 4, =^(ri + .)rfv 



(8) 



/ 



df 





^(H-i)rfU, 



U et V étant des fonctions réelles. En les introduisant, on peut mettre l'élé- 

 ment linéaire de (i) sous la forme 



(9) 



<!s-. 



-dY\- + {-in — i)d{\\ 



et celui de (2) sous la forme semblable 



■:2 H 



(10) 



ds'- 



rfH=4-(2H 



Ces formules montrent bien que (i) et (i ) sont applicables sur le para- 



