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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La notion d' écart dans le Calcul fonctionnel. 

 Noie (le M. Mauuice Frêchet, ])réscnlée pnr ]M. P. Paiiilevé. 



Dans ses Leçons sur le calcul des variations, Weierstrass a fait un grand 

 usage (le ce qu'il appelle le voisinage de deux courbes infiniment voisines. 

 Je nie pro[)ose de nionlrer ici l'inLérêt (ju'il y a, dans le Calcul fonctionnel, 

 à étendre cette notion (sous le nom (Vécart) au cas de deux éléments quel- 

 conques. 



Nous considtjrons donc des éléments de iiiilure quelconque (points, courbes, fonc- 

 tions, etc.) tels seulement que Ton puisse faire correspondre à tout couple A, B de ces 

 éléments un nombre bien délei'ininé positif ou nui appelé écart (') de A et de B [re- 

 présenté par la notation (A, B)J et jouissant des propriétés suivantes : i" l'écart de A 

 et de B e?t nul ê! A et B ne sont pas distincts et seulement dans ce cas; 2° A, B, C 

 étant trois éléments quelconques, si les écarts (A, C) et (B, C) sont infiniment |jetils. 

 il en est de même de l'écart (A, B), 



Ceci posé, nous dirons qu'une suite d'éléments A,, A,, .... A„, . . . tend vers l'élé- 

 ment A si l'écart (A, A„) tend vers zéro a\ei- — (^). 



(') J'em|)loie la dénomination d'écrt/7 pirce ([iie l'on peut prendre, en particulier, 

 pour valeur de (A, B), lorsque les éléments considérés sont des points de l'espace à 

 n dimensions, la quantité qui a été ainsi nommée par M. Jordan. 



{^) Cette définition satisfait au\ conditions imposées à la définition la plus géjiérale 

 de la limite dans la Noie des Comptes rendus du 21 novembre 190 '1 : Généralisation 

 d'un théorème de Weierstrass. En paLticularisanl la nature des éléments, on peut 

 obtenir ainsi, par un choix, convenable de l'écart, la plupart des défuiilions classiques 

 de la limite d'une suite d'éléments. Si l'on |irend comme éléments des points de l'es- 

 pace à une infinité dénombrable de dimensions, on retrouve la définition qui a été uti- 

 lisée dans la iNote (lu 27 février igoS {Sur les fonctions d'une infinité de variables) 



en appelant écart îles deux, points (a-'i. .f,, r„, . . .) et {.<•',, .rj, . . ., .^■,',, . . . ), 



par exemple la ([uanlité 



|.r,-.r; I ,1 |^'.,-^;| , I |^„^<1 



I + i -t'i — -k'i 1 2! I -h|.«.-j— .r^ I ■ n\ H-|x„ — j:;, I 



Pour l'écart de deux courbes, il suffit de généraliser le voisinage de deux courbes 

 infiniment voisines. On appelle ainsi le maximum de la distance de deux points de 

 même abscisse (ou d"abscisses très peu différentes) pris chacun sur une des courbes. 

 Prenons alors deux courbes continues quelconques, mais qui ne sont plus nécessaire- 



