SÉANCE DU 20 MARS igo.*). 773 



On en déduit facilemenl les définitions d'élémenl-limile d'un ensemble; d'ensemble 

 déiivé, fermé, parfait, compact ('), Nous dirons mainlenanl qu'une opération fonc- 

 tionnelle U est définie dans un ensemble E, si à tout élément A de cet ensemble on a 

 fait correspondre un nombre U^ bien déterminé; celte opération fonctionnelle sera 

 continue dans E si U.^^ tend vers Ua lorsqu'un élément A„ deE tend vers un élément A 

 quelconque de E. 



Pour arriver aux théorèmes que nous avons en vue, nous dirons encore qu'une opé- 

 ration fonctionnelle U est uniformément continue dans E, si ii tout nombre t on peut 

 faire correspondre ïj tel que l'on ait | U^ — L'ii| < s lorsque A, B sont deu\ éléments 

 quelconques de E, dont l'écart est inférieur à y,. Si 5 restant fixe, on change l'opéra- 

 tion U, le nombre r, varie en général. Lorsqu'iitii; famille G d'opérations uniformément 

 continues dans E est telle que, quel que soit i. on puisse lui faire correspondre la 

 hiême valeur de r, pour toutes les opérations do d, on dit que celles-ci sont également 

 continues {^). 



Partant de ces tléfiuilioiis, nous avons pu démontrer directement, sans 

 nous servir des propriétés des fonctions continues ou des ensembles de 

 points, les propositions suivantes : 



Lorsqu'on a pu définir la limite d'une suite d'éléments {de nature quel- 

 conque) au moyen de l'écart, on peut affirmer que pour de tels éléments : 



I. Tout ensemble dérivé est fermé ( ' ) ; 



II. Toute opération fonctionnelle continue dans un ensemble compact et 

 fermé y est uniformément contiime. 



III. Soit G une famille d'opérations fonctionnelles continues dans un 

 ensemble compact et parfait P dont tous les éléments appartiennent à un 



0(1 /, ^', h, 9, 4*, 7 sont uniformément continues de tg à /,. U y a une infinité de repré- 

 sentations paramétriques analogues. Soit, diuis chacune d'elles, S le maximum de la 

 dislance de deux points qui correspondent à la même valeur de t. Nous proposons 

 d'appeler écart de Cet de V la limite inférieure (/ de l'ensemble des valeurs de 5. Cette 

 quantité d satisfait à nos deux conditions et jouit de propriétés analogues à celle de la 

 ilistance de deux points. 



(') Fo//- pour ces définitions la Note déjà cili'e du 21 novembre 1904. 



(-) Cille définition a été appliquée dans le cas où les éléments sont des nombres 

 par Ascoll {Sulle carve lirniti di una varietà di cun'e : Lincei, i884) qui a obtenu 

 dans ce cas particulier un théorème analogue à lit. Voir aussi Arzelà, Sulle série 

 di funzioni ugualmente oscillanti : Académie de Bologne, 1904. 



(') Ce qui montre que toutes les définition; classiques de la limite puivcn t se dé- 

 duire de la notion d'écart. 



