C)i6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soient 



o intégrales distinctes de première espèce de la courbe entre .r et z 



f{x,y,z)=o, 

 en représentant par/= o l'équation de la surface; désignons par 



,,' ,,'- ,..-/' 



les ip périodes de I/,, qui sont des fonctions de r, et posons 



Jl = u\ + u>\ {A-=i, 2, ...,ip), 



où M* et i>l sont (les fonctions réelles des deux variables réelles y' et y", si 

 l'on ay = y-hiy". 



J'envisage les 2/j équalionsdu premier degré en a,, b,, a.,, h.,, ..., a^,, hp, 



(i) a,"* - è, (■';+..• + «/,"*- ^,^'^=(:a- (X- = i, 2, .... 2/)). 



en désignant par C,, . . ., C,/, des constantes ree//p5 satisfaisant à l'ensemble 

 des équations du type 



Ck=T)i[C, + mlC^+...+ fni_pC^p {k =^ i, 2, .. ., ip), 



où les m sont des entiers réels relatifs à une substitution quelconque du 

 groupe de l'équation dilîérentielle linéaire E, que j'ai tant de fois consi- 

 dérée. On sait que le nombre des C restant arbitraires est égal au nombre r 

 des intégrales distinctes de seconde espèce. 



Je montre que les équations (i) déterminent pour les a et b des fonctions 

 uniformes de y' et/"; île plus, toutes les combinaisons 



sont des fonctions analytiques de y, et enfin l'expression 



(a, + /i,)^4-...+ (a„4-i7.,,)yf 



est le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale de pre- 

 mière espèce de la surface. 



Il résulte de cette analyse que les intégrales de première espèce de la 

 surface dépendent de r constantes arbitraires réelles, tandis que les inté- 



