SÉANCE DU 3 AYRII, 1905. 927 



Je commence à énoncer ce que je nomme Ir premier théorème d' Abel sur 

 les surfaces : 



Soient I,, I2, .., l^ les intégrales de différentielles totales attachées à une 

 surface F, et soient a-,, a-,, . . ., x„ les poin/s communs à deux courbes (algé- 

 briques) tracées sur la surface et variables dans une même série algébrique : 

 alors, pour que cette série soit renfermée dans un système linéaire, il faut et il 

 suffit que les sommes 



l,(x,)+...+ \n{-r„) (/* = i, ...,q) 



demeurent constantes. 



La nécessité de la condiliori dont on pnrle s'établit par elle-même, en 

 s'appuyant sur le théorème d'Abel pour les courbes. Mais la démonstration 

 de la réciproque, quoique simple, n'est pas si immédiate. J'ai posé à la base 

 de cette recherche le lemme qui suit : 



Si, dans une courbe algébrique, on a une série algébrique {irréductible) S 

 de groupes de v points, telle que l'ensemble des n groupes qui passent par le 

 point X variable sur la courbe (y compris le point x compté n fois), se meut 

 dans une série linéaire {d'ordre /iv), alors tous les groupes de S sont contenus 

 dans une même série linéaire. 



De ce lemme je tire la suffisance de la condition énoncée, en généra- 

 lisant un raisonnement bien connu de M. Humbert {.Journal de Math., 



1894). 



2. Comme une conséquence immédiate du premier théorème d'Abel, 

 je vais établir qu'u/ie surface algébrique, ayant les genres p„, p,,, possède 

 Pg — Pn intégrales de Picard de première espèce et ^{p„ — p„) intégrales de 

 deuxième espèce. 



Pour ce qui coiicenie la relation entre l'irréi;ularité et Texislence d'intégrales de 

 première et de deuxième espèce, j'applique seulement, dans la démonstration que je 

 vais exposer, les propositions données dans ma Note des Rendiconli dei Lincei (sep- 

 tembre 1904), et le beau théorème de M. Enriques, concernant les systèmes complets 

 non linéaires qui appartiennent à une surface irréguliére (Voir Comptes rendus, 

 16 janvier). 



Soit |C| un système linéaire régulier de courbes tracées sur la surface F. D'après 

 M. Enriques, ce système appartient à une série algébrique 'Z, ccP{p = /'^, — p„), de sys- 

 tèmes linéaires. Si .r,, x,, r„ sont les points cumijuins à deux courbes d'un de ces 



systèmes, on aura : 



I/,(.r,)+...-^I,(,r„) = e/„ lA = i, ..., 7). 



où I,, ..., I,, sont les intégrales indépendantes de première espèce attachées à F, el 



