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les c sont des constantes. Grâce à la suffisance de la condition donnée du premier tliéo- 



rème d'Âbel, le groupe des quantités c,, c^ c, ne pourra pas être le même par 



deux, systèmes différents de S. Donc les c sont susceptibles de <xP groupes distincts de 

 valeurs. Cela entraîne </=/>. D'un autre côté, en désignant par r le nombre des inté- 

 grales de deuxième espèce, on a (t;oi> maNote des /.//ice?, n" 2) : /• — ^ ;^/>. Ces inéga- 

 lités, jointes à l'autre rl'>.q, qu'on obtient aisément {voir, par exemple, le n° 3 de ma 

 Note dans les Alti deU'Accadeniia Ji Torino, 22 janvier), donnent <j ^=p. r = ip. 



3. Le théorème très important que je viens de démontrer est dû à 

 M. Castelnuovo, qui l'a exposé récemment avec une autre démonstration 

 (Comptes rendus, 2.3 janvier). Ce théorème répond à la question quantitative 

 concernant les intégrales de première et deuxième espèce, attachées à une 

 surface. La question qualitative a\a'\t été déjà résolue en réunissant le théo- 

 rème que j'ai démontré en septembre avecle théorème cité de M. Enriques. 

 Je dois enfin rappeler que M. Picard a établi de son côté la relation r = /> + ^ 

 (Comptes rendus, 16 janvier), par une méthode où joue, d'une manière 

 admirable et systématique, le groupe d'une certaine équation différen- 

 tielle E. 



4. En terminant, je me borne à énoncer ce que je nomme le second théo- 

 rème d'Abel sur tes surfaces : 



Soient encore I,, . . ., I^ les intégrales de première espèce attachées à une 

 sur/ace F, et (a;,, x.^, . . ., .i*„) un groupe de points, mriable dans une im>o- 

 lution R de F. La condition nécessaire et suffisante pour que K soit régulière 

 est alors que les sommes 



l,(a-,) + ... + \,(x,) (h = i,...,q) 



demeurent constantes. 



On en tire, par exemple, que sur une surface, qui ne contient pas de fais- 

 ceaux irrationnels, toute involution d'une série continue est régulière. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires du 

 second ordre à solution périodique. Note de M. Maxi.me Bôcher, présentée 

 par M. Emile Picard. 



On sait comment M. Picard s'est servi de la méthode des approximations 

 successives pour démontrer quelques-uns des théorèmes de Sturm sur les 

 solutions réelles des équations différentielles linéaires du second ordre. 

 Plus récemment, M. Mason a emplové les principes du calcul des variations 



