SÉANCE DU 3 AVRIL IQoS. 929 



pour établir les mêmes propositions et d'autres propositions analogues. Ces 

 deux méthodes ont un avantage incontestable sur celle de Sturm. C'est de 

 se prêter facilement à une généralisation aux équations aux différences 

 partielles. Il en est autrement quand on se restreint aux équations diffé- 

 rentielles ordinaires, au moins quand elles sont linéaires et du second 

 ordre. En effet, la méthode de Sturm est, dans ce cas, bien plus générale 

 que celle de MM. Picard et Mason. Il paraît même que, dans tous les cas 

 qui peuvent être traités par ces dernières méthodes, la méthode très simple 

 indiquée par Sturm au bas de la page 182 du premier Volume du Journal 

 de Liouvil/e sera a|)plicQble. Ainsi la méthode de Sturm aurait aussi l'avan- 

 tage de la simplicité sur les méthodes plus récentes. Toutefois, dans la 

 recherche des solutions périodiques, la méthode de M. Mason paraît l'em- 

 porter sur la méthode de Sturm. 



Je vais montrer ici comment on peut, jusqu'à un certain point, suppléer 

 à ce défaut en traitant ce cas comme simple corollaire des cas les plus 

 simples. 



Soit l'équation différentielle 



où A désigne une fonction positive de période w et A un paramètre. Il 

 s'agit de prouver qu'il existe une infinité de valeurs réelles de 1 pour 

 lesquelles l'équation (i) admet une intégrale périodique, non identique- 

 ment zéro, de période oj. On trouve facilement une équation transcendante 

 en \ dont les racines sont précisément les valeurs désirées. Désignons, en 

 effet, par j, et y^ les deux intégrales de (i) qui satisfont, quelle que soit 

 la valeur de \, aux conditions 



y,(a) = i, y^(^a) = o, y,(a) = o, y^{a) == ^ . 



Pour qu'une intégrale 7 = c,)', 4- c. Va .h'L la période oj, il faut et il suffit 

 qu'on ait 



<^i v,(a -+- oi)-t- c.^y..{a ■+- o>) = c,, 



c,y,{<^ -+- '") + '"sJU" + "'.* = '^2- 



La condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équa'tions soient 

 satisfaites par des valeurs de c,, (\, qui ne soient pas toutes deux nulles, se 

 réduit facilement à la forme 



(2) v,(a + o>")-h j';(a + o,)- 2 = 0. 



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