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C'est l'équation en X qu'il s'agissait de trouver. Nous voulons maintenant 



démontrer que cette équation a une infînilé de racines réelles. 



A cet effet, considérons l'équation ^^(a -I- to) = o qui, d'après un théo- 

 rème iondamental de Sturm, a un nombre illimité de racines réelles et 

 positives. Si nous désignons ces racines, rangées par ordre de grandeur, 

 par lo, >.,, lo, ..., la fonction /^(a;) aura pour la valeur 1 = !„ exactement 

 n racines dans l'intervalle a<^x <^a + to. 



En se servant de la formule 7,7^ — Ja/', = i» "" trouve que le premier 

 membre de (2) se réduit, quand 1 a une des valeurs )^o» ^t » ■ • ■■> '"^ ^^ forme 



s,ly,{a + o>) 



\/ji{(i- 



Or, quand 1 = ^, la quantité j, (a -H o>) est positive, si n est impair, 

 négative si n est pair. 11 s'ensuit que dans chaque intervalle l^'SlS'k„+, 

 l'équation (2) a au moins une racine. Ainsi, l'existence d'une infinité de 

 valeurs réelles de 1 pour lesquelles l'équation différentielle (i) a une solu- 

 tion de période 10 est démontrée. 



On peut facilement aller un peu plus loin si l'on considère les racines de 

 l'équation en 1 



/j(a 4- w) = o. 



On prouve ainsi, par des raisonnements tout à fait analogues à ceux dont 

 nous venons défaire usage, que, tétant un entier positif quelconque, il 

 existe au moins deux valeurs réelles de >> pour lesquelles l'équation (i) a 

 une solution de périodes qui s'évanouit exactement Q.k fois dans l'inter- 

 valle a < vSa-htù, pourvu toutefois qu'on compte deux fois une valeur 

 de 1 pour laquelle toutes les solutions de (i) ont la période a>. 



La méthode dont je me suis servi a l'avantage de s'appliquer sans aucune 

 modification à l'équation 



(3) S+/H^)£+?^^'^)^=°' 



où la fonction périodique /> n'est restreinte qu'à la condition 



et la fonction q, périodique en x, dépend de 1 de telle façon que, quand >. 

 croît de IkL, q croisse continuellement, pour chaque valeur de x, d'une 

 valeur négative ou nulle à -f- co . Il est même suffisant que cette crois- 



