lo86 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur V équation différenlielle y" -ir\k(x) y ~ o. 

 Note de M. Max Maso.v, préseiilée par M. Emile Picard. 



Beaucoup de questions liées à l'équation différentielle 

 (i) y' + ^A(ir)j = o 



sont des cas spéciaux du problème : Délerminer le paramètre 1 de façon 

 qu'il existe une solution de l'équation (i) qui satisfasse aux conditions 



\ «./(«"O + «2.y(^2) + «3/(^0 +- a,y'{x.,) = o, 

 \ ^. j(-^<) + b._y{x,) + h,y\x,) + b„y'{x,) = o. 



Je me bornerai ici au cas oîi l'on a d^^ = f/o,,, en écrivant rf^ = '^i^k — «a^;- 

 Pour qu'il existe une solution autre que zéro des équations (i), (2), \\ 



faut et il suffit que \ soit racine d'une fonction transcendante D(X). Si \ est 



racine simple de D().), il y a une seule solution -i, ; si \ est racine double 



il y en a deux, rj,, r,^. 



D'autre part, si \ n'est pas racine de D(>.)> '1 existe une solution de 



l'équation 



(i') j" + ^A(a;)r=/(aO, 



qui satisfait aux conditions (2) quelle que soit f{x). Il faut et \\ suffit que 



la fonction f{x) satisfasse à la condition 



(^) 



/ /"y,, dx = o, 

 si \ est racine simple de D()v), et aux conditions 



/ f-f] I dx — o, / fr,., dx = 0, 



si 1 est racine double. 



On prouve l'existence d'une suite infinie de i-acines réelles X,, de ])(>-) 

 d'une manière analogue à celle dont j'ai fait usage dans certains cas parti- 

 culiers (Math. Annalen, t. LVIIl, 1904-, Journal de Mathématiques, 5« série, 

 t. X, 1904). 



Considérons les valeurs de l'expression 



