SÉANCE DU 17 AVRIL igoS. I087 



formée pour les fonctions j qui satisfont aux équations (2) et à la condition 



/ Al'- fix = T (A > o dans une partie au moins de l'intervalle). 



Il existe une limite inférieure T.,, pour ces valeurs J(r) pourvu qu'on 

 ait, pour toutes les fonctions v< 



c'est-à-dire si les coefficients a, b des équations (2) satisfont à une des 

 conditions suivantes : 



," ^/,.2=<>, ^4., = 0; 



2" (L,(l,, — cr\^::o, r/,,r/,,:o, d,,d^,lo; 



3° r/,,r/,, — r/;,>o, r/,,d,,^o, d.,.,d^^>o. 



La limite inférieure \ est racine de D( a). En effet, s'il en était autrement, 

 on trouverait qu'on pourrait déterminer une fonction /(a?), telle que la 

 solution de l'équation 



satisfasse à toutes les conditions du problème minimum et donne à l'expres- 

 sion J une valeur moindre que >.„. 



Ajoutons au problème de minimum la condition 



/ kY„yd.v = o. 



Soit >, la limite inférieure nouvelle des valeurs de J. Supposons d'abord 

 que X, = X„. Si >.„ n'était pas racine double de D(>.), il y aurait une solution 

 de l'équation 



X"+X„ A. )- = ./, 



sous les conditions (2), pour chaque fonction/, pourvu que 



/"' V„./W.r = o. 



Mais, comme auparavant, on démontre que cela est impossible. Si X, >>.o, 

 on démontre d'une manière analogue que T., est racine de D('X), et ainsi 

 de suite. 



Il existe donc une suite infinie de racines \,, de D(l) et de solutions r„ des 

 équations (i). (2). La fonction y^ est solution du problème 

 J( v) = minimum 



X 



