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SOUS les conditions (/i.) et 



I A.y-(Ix = }, I Ay,vdx=^o {i = o,i n — \), 



et 1„ est la valeur minimum de J. On suppose 



/ \.dx ^ o: 



dans le cas contraire le tliéorème doit être légèrement modifié. 



Si la fonction A change de signe, on arrive à une seconde suite infinie 

 de valeurs 1„ en remplaçant la condition 



I A j- d.T = I par / A v" dx = — \ . 



La méthode ci-dessus s'applique avec des modifications très simples à 

 l'équation 



y"-i-p(.x)y-h[lA(cc) - B(^)].y =- o, 

 où B(a:) > o. 



Examinons de plus près les solutions périodiques de l'équation (i) 

 quand la fonction A est périodique avec la période w, c'est-à-dire les solu- 

 tions de l 'équation (i) sous les conditions 



(I) Y{a)—y(a-hoi) = o, y(a) — y(a-+-iù) = o. 



Désignons les valeurs A„ dans ce cas par !,,„ et les solutions j„ par )',,„. 

 Écrivons de même 1^„, "a^ „ et y..j,,y-^,„ pour les conditions 



(II) y(a)=o, y(a + co)=o, 



(III) y(«)=o, v'(a + <o)=o, 



De la définition de >>,,„, !.„, I3,,, comme valeurs minima, on démontre 

 qu'on a 



D'ailleurs, on sait par les théorèmes de Sturm que les fonctions Vj^, Vs.n 

 ont exactement n racines dans l'intervalle a < as- < a + w, si h fonction A 

 ne change pas de signe. D'où l'on démontre facilement le théorème : 



Si la fonction A ne change pas de signe, les solutions périodiques y t^om-,, 

 J, 2„ ont exactement y.m racines dans l'intervalle a'^x <C_a -h u>. 



