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Il y a des exlensions à d'autres valeurs de v, et cette propriété reste 

 vraie pour 1 = 3, v = i . 



ir. a;^" + /-"= 2"'(2M + 1)2'". - Avecn>2, m = k.i"-{-l, i</<2", 

 M quelconque >o. 



Exemple : x'" + j^" = 2" ( 2 M + i ) z'" . 



III. cc^"^ar"-+-...-hxJ=2'"{2M + i)z^". — kvecn^z, m = k.'2"-h l, 

 /<;; 2', I < /< 2", M quelconque >o. 



Exemples : x' + y'' = 2"'(2M + i):;* ; x\ + x\ + x\ = 2^(2 M + i)z\ 

 avec, dans les deux cas, m = lik -i- 2. ou [\k + 3. 



Il en résulte, en particulier, qu' d y a des nombres qui ne sont pas 

 sommes de moins de 2'"^' puissances (a")''"""' positives ^ o. 



IV. a;'''' + j^'' = 41^-2*'^ (1^- quelconque); 



x'f- +x''^ + ...+ xf = 4 1^-'"^. 

 [i<y<2", p. = 2"-'(2|x, + i), «>2, a, quelconque]. 



V. a;>.2? + y>.2'=. V"Bz^-2°. _ [/« > o et 5±^ o(mod\2? )], où 2? est la plus 

 haute puissance de 2 qui divise). - i et B un nombre quelconque i)remier 

 au nombre premier impair quelconque >-. 



Exemples : x"-^^-hy'^ = >."'Bs=\ où m > o et 5^ o(mod2X), a premier de 

 la forme 4;^, + 3; x^-'>'V- + y''^^= 2nY.z^''^V; [j. quelconque; x'+y' = 6z'; 

 ^.2o._^^,2»_ 2co:;^", w avant un facteur premier 4^, + 3. 



VI. x^ + y^'-^iJ.z'^ (iJ.^i). - 1° Quand [i= 2^^.3°^ «f'af ou af'a^'af 

 (a,, a.,, a, nombres premiers distincts dont le plus grand n'est pas excep- 

 tionnel); 2° Quand |j. n'a aucun diviseur premier > 17. 



VU. x^-\- Y^'=^ 'J-^^'- — Q^iand p/iioo, [j. n'étant aucun des nombres 2, 

 37, 59, 67 ou 74- 



Je n'ai pu éviter l'emploi de la théorie des nombres complexes ou des 

 nombres idéaux de Rummer que pour les équations II, III, IV et V. 



Il est intéressant de remarquer que, d'après ce qui précède, les seuls cas 

 où l'impossibilité de 



pour a > 2, n'est pas complètement prouvée, sont ceux où a est impair et 

 où a= ■2(-2b + i), 2^ + J n'ayant d'autres diviseurs premiers que des 

 nombres 4/î- + i ; encore, dans ces deux cas, ai-je indiqué des formes très 

 variées de a pour lesquelles cette équation est encore impossible. 



