SÉANCE DU 8 MAI iqo5. I33l 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la ihèorie des nombres et 

 la théorie des fondions. Note de M. Georges Rémoundos, présentée par 

 M. Appell. 



1. Je me propose de communiquer à l'Académie quelques nouveaux 

 résultats, auxquels j'ai été conduit par l'application de ce théorème fonda- 

 mental de M. Borel, dont j'ai montré la fécondité dans mes Communications 

 antérieures (') et le théorème d'Hermite-Lindemann, dont j'ai signalé 

 l'analogie avec le précédent dans ma dernière Communication (Comptes 

 rendus, 1 6 janvier i9o5)(-). 



Considérons une fonction /(^, h) de la forme 



(i) /(s, «) = «"-^A,(=)«'-'-f-A,(3)«''-^ + ...^-A,(?0- 



où les A,(=) désignent des fonctions entières quelconques et soit e*"'' le 

 plus grand des modules maximum de ces fonctions. Dans mes travaux anté- 

 rieurs, j'ai démontré que l'on doit considérer comme exceptionnelles les 

 valeurs de u, pour lesquelles on ait 



(2) /(=,«) = Q(.)e"--', 



où Q(s) désigne une fonction entière croissant moins vite que ef"""'-" 

 (a étant un nombre positif). Or, je démontre par la même méthode d'éli- 

 mination que l'on doit aussi considérer comme exceptionnelle une valeur «„ 

 (le II, pour laquelle on ait 



(3) /(=,'/„) = Q,(=)e"''-+Q..(.)e"-^' + ... + Q,„(=)e"-'-, 



où les exposants H,(;), FJ.,(s), ..., H,„(:) croissent tous comme M(r), 

 tandis que les coefficients Qi(_z) croissent moins vite que g'"""'"" ; // est 

 impossible d'avoir v -{- i telles valeurs de u. Ce théorème généralise d'une 

 façon intéressante les résultats que nous avions jusqu'ici. Nous sommes en 

 présence de nouveaux cas d'exception, qui ne se caractérisent pas du tout 

 par une densité de zéros autre que celle qui convient à l'ordre de gran- 

 deur e"'"; tout au contraire, on montre aisément, à l'aide du théorème de 



(') Comptes rendus. 20 avril igoS, 8 février igo/l, 20 juiji 1904, 8 août igo^- 

 (-) Celle Noie sera développée dans un Mémoire qui paraîtra prochainement. 



