T?32 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



M. Borel, que le second membre de (3) ne saurait jamais se mettre sous la 

 forme 



Q(.)e"-, 



la fonction Q(^) croissant moins vite que ?'*""'*"', 



Ainsi, dans le cas oîi les A,(s) sont d'ordre fini, ces cas d'exception ne 

 cessent pas de satisfaire aux inégalités bien connues entre l'ordre de gran- 

 deur du module maximum et la densité des zéros. 



Citons comme application les valeurs de u pour lesquelles f{z, u) est de 

 la forme sin W(=) ou bien cos ^(-), V(;) étant une fonction entière. De 

 telles valeurs de u sont exceptionnelles et leur nombre ne dépasse pas c, si 

 l'on ne compte pas celles pour lesquelles y(-) est une constante. 



2. Nous avons un théorème analogue dans la théorie des nombres. 



Si nous posons 



(4) (l{u} — u'-^y^u"^' -f-...-t-Y^_,;< + y^, 



où les coefficients de q{u) ne sont pas tous algébriques, les équations delà 

 forme 



(5) y(w) = x-^ic"-. -t- A2e°'= + . .. +A,„e*-" (a, ^ o, a^ 7^ o, ..., a,„^ o) 



qui admettent des racines algébriques sont exceptionnelles et leur nombre est 

 au plus égala v. 



Ainsi q{u) ne donne, pour des valeurs algébriques de u, des nombres de 

 la forme sin« et cosa (a étant un nombre algébrique) que par exception. 



.3. On peut établir aussi les théorèmes suivants : 



H est impossible d'avoir c -+- i équations de la forme 



(6) 9r(«) =: rt, -t- A,e". (/(//) = a. -t-AoP°'s ••■, q{u) = a,+^-\- k^,+^e'^'*' 



admettant des racines algébriques, si parmi les exposants il y en a un qui 

 diffère de tous les autres. 



Il n'y a quun nombre fini d'équations de la forme (6 ) ayant le même expo- 

 sant dans le second membre et admettant des racines algébriques, s'il y a au 

 moins deux coefficients transcendants distincts dans le polynôme q(u). 



Nous avons aussi un théorème analogue dans la théorie des fonctions. 

 Voici maintenant un autre théorème plus général que le précédent : 



S'il y a une infinité d'équations de la forme : 



q{u) = a -\- A,e''-t- Aje"" + . . .4- k„,e''>". 



