SÉANCE DU )j MAI igoS. l3iq 



Irajecloircs soient comprises toutes les Lnri'^entes à une courbe donnée, ce qui 

 exige que la force (X, Y) soit constamment tangente à cette courbe. 



Il reste donc à trou^ er s'il y a des forces (X, Y) constamment tangentes 

 à quelque courbe qui fassent décrire au mobile des coniques quelles que 

 soient les conditions initiales. 



Ayant abordé le problème en question dans le cas général, par une mé- 

 thode directe, nous sommes parvenu à reconnaître que, en dehors des 

 solutions comprises dans le cas considéré par Bertrand, ce problème 

 n'admet aucune autre solution. 



Voici en quelques traits la marche que nous avons suivie : 



L'équation différentielle des coniques, écrite au moyen des dérivées de x 

 et y par rapport à une variable indépendante quelconque, est 



i(i2)n-.5) + 45(i2y^(2V)~45(.2)(i3)(.4) 



4-4o(l3)-- 90(l2)(l3)(2V) = G, 



étant posé 



(12) = x' y" — y'x", ( 1 3 ) = x' y'" — v'x'", .... 



A l'aide de cette équation on trouve que la condition nécessaire et suffi- 

 sante, pour que toutes les trajectoires d'un mobile sollicité par la 

 force (X, Y) soient des coniques, est exprimée par l'évanouissement iden- 

 tique d'une certaine expression 



l^5(Yx' - Xyy E + b(Yx' - Xj') F + G 



Of \d.r dy J i)x 



et où F et G désignent deux polynômes homogènes par rapport à x',y', de 

 degrés respectifs 3 et 6, et dont les coefficients sont des fonctions de X 

 et Y et de leurs dérivées partielles des trois premiers ordres. 



La même condition est également exprimée par le système des trois 

 relations E = o, F = o, G = o, qui doivent avoir lieu identiquement. 



L'équation différentielle E = o exprime que la force (X, Y ) doit rester 

 constamment tangente à une même courbe. 



L'étude des relations F = o et G = 0, dont chacune équivaut à un système 

 d'équations différentielles, fait voir, tout d'abord, que chacune d'elles 



