SÉANCE DU 22 MAI igoS. 



i379 



naître des cas de plus en plus étendus où la convergence a lieu; elles 

 donnent, presque toutes, des cas différents de convergence, empiétant 

 quelque peu les uns sur les autres. -De sorte qu'il est possible de nommer 

 des fonctions satisfaisant à certaines des conditions de convergence que 

 j'ai indiquées sans que leur somme satisfasse à aucune de ces conditions. 

 Pour supprimer ces difficultés, il faut donner un énoncé contenant tous 

 ceux que j'ai mentionnés et s'appliquant à la somme de deux fonctions 

 quand il s'applique à ces fonctions. J'ai obtenu un tel énoncé en modifiant 

 légèrement certains raisonnements de Dirichlet, Riemann et Lipschilz. 



Soit/(a;) une fonction de période 2-, continue ou non, mais ayant une 

 intégrale. Le mot intégrale sera pris au sens de Riemann ou à celui que je 

 lui ai donné, comme l'on voudra; la portée seule des résultats sera modifiée 

 suivant le sens adopté. On sait que, si l'on pose 



?(0 = /(^ + 2O + /(.r - 2O - 2/(a-), 



et si S„, désigne la somme des m 

 de/, pour la valeur x, on a 



premiers termes de la série de Fourier 



D,„=-[S,„— /(.x^)J= / Jj^^in(2/« + v)lch 



= j + /' '"'^ ?^ si n ( 3 w + I ) f// 



la plus grande valeur de i est — on '—^ — suivant la parité de m, mais, dans 

 les deux cas, i,„ tend vers zéro avec • Ue là résultent les inégalités 



|D„|<|e,„| + (2A.. + l)^/^"""'|cp(0|.r//+j'^ 



sinf^H ) 



V 2 «l -+- I / 



sin< . / T. \ 

 sin /H 



\ 2WI+I/ 



dt. 



