SÉANCE DU 22 MAI IQoS. l38l 



la fonction en tous les points où la condition i° de l'énoncé précédent est 

 remplie. On déduiL facilement de là que : quelle que soit la l'onction /con- 

 venable (c'est-à-dire ayant une intégrale), elle est représentée par sa série 

 de Fourier, sommée par le procédé de M. Féjer, partout, sauf tout au plus 

 pour les points d'un ensemble de mesure nulle. 



Il est peut-être intéressant de remarquer que tout autre procédé de 

 sommation ne peut pas donner plus, en un certain sens, puisque deux 

 fonctions qui ne diffèrent que |)ar les points d'un ensemble de mesure nulle 

 ont la même série de Fourier. D'autre part, on ne peut pas non plus espérer 

 mieux en s'adressant à des expressions analytiques plus compliquées, car 

 j'ai pu construire des fonctions qui, dans tout intervalle, échappent à loule 

 représentation analytique et par conséquent telles que, quelle que soit 

 l'expression analytique que l'on choisisse, cette expression n'égalera pas la 

 fonction aux points d'un ensemble qui est certainement non dénombrable 

 et partout dense. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes minima. Note de M. E. Vessiot, 

 présentée par M. Emile Picard. 



1. Considérons la courbe minima (ou de longueur nulle) (C), définie 

 par les équations 



x + iy= 2F"(a), ac ~ iv = - ■2\'V"{\) -+- ^Wa) - 4 F(^). 

 z^i\Y'\-K)--zV'{-K). 



On peut lui associer une variable s, que nous appellerons son pseudo-arc, 

 et qui sera définie par la condition 



qui se réduit à 



ds = \/ir"(l) dl. 



Ce pseudo-arc est visiblement un invariant de la courbe (C), par rapport 

 au groupe des mouvements, et va servir à trouver tous les invariants dilTé- 

 rentiels de (C), relatifs au même groupe('). Il suffit d'abord de remarquer 



( ' ) Ces invariants ont été trouvés par Soplms Lie, comme application de ses théories 

 générales. Voir, par exemple, Lie-Scheffers, Varies, uber coiUin. Grupperi, p. 694- 



