SÉANCE DU 22 MAI tpoS. l383 



Elles introduisent l'invariant 



m'^m'-m' 



qui n'est autre que 2$; et redonnent tons les résultats de Lie sur les inva- 

 riants cherchés et la congruence des courbes minima. 



La rotation instantanée, dans le mouvement considéré, a pour projection 

 sur les trois axes de coordonnées 



p = iaa-a"), (,= '-(Jb — h"), r=-^(3c-c"). 



Sa grandeur est yT. L'axe hélicoïdal instantané coïncide avec l'axe du 

 cylindre de révolution osculateur à la courbe (C), déjà considéré par 

 SchefTers; il rencontre à angle droit le segment MU en un point w tel que 



3. Les résultats précédenis peuvent être utdisés, comme nous le mon- 

 trerons dans un travail plus étendu, pour la théorie générale des courbes 

 et des surfaces. Tons les éléments fondamentaux relatifs à une courbe 

 gauche dérivent de ceux qui se rapportent à ses deux développées minima; 

 tous les éléments fondamentaux d'une surface dérivent de ceux qui se 

 rapportent à ses courbes minima. 



Pour ne citer qu'un exemple, la courbure moyenne d'une surface est 

 donnée par la formule 



où s est le pseudo-arc d'une courbe minima (C) de la surface, J son inva- 

 riant fondamental, et 2P la projection du segment MV, défini plus haut, 

 sur la normale à la surface. 



4. On peut également rattacher la théorie générale des courbes, et celle 

 des lignes de courbure d'une surface, à l'étude des surfaces réglées à géné- 

 ratrices isotropes. C'est ainsi que l'on est conduit, par exemple, aux for- 

 mules bien simples 



X -h iy = -P(l)-hf P'(0' a- -iy = q{t) + ( Q'(t), 



P'(n + r-Q'{t) __ P'it)-\-t'-Q'{t) 



poui 



cprimer, en fonction explicite d'une même variable, l'arc s et les 



