SÉANCE DU 29 MAI IQoS. lA^Q 



Posant 



Z( = )-^ = W„(s) et limW„(:;) = WÙ), 



les relations (i) et (2) donnent 



(/,) (az + b)(cz + d)'-^^ - W = o, W = C(az ^ è)",(>= + r//.. 



Pour s = oo, Z(3), qu'on suppose exjjressément développable en série, 



tend vers i„ et il est facile de s'assurer qu'il en est de même de ^fl W(x) 

 doit donc être nul, ce qui nécessite 



C = o et W = o. 

 3. Les polynômes U„, V„ sont définis par la loi de récurrence 



U„^, — (2/i+i)(P:; + Q)U„-f-(«^R=-«^)U„_, = o, 



V„^, - (2« + 1) (P- + 0)y„+ (^n-R^ - io-)V„„, = o, 



P = ac, 2 = ad -h bc, 2 R = ad — bc, 2 a> = r/, p — o. 



De plus, 



(az + b) (cz + </) -^V„= |>(Pi; + Q ) - .o]V„- (n-^R^ - co^) V„_,. 



Supposons a, b, c, cl, q réels et, pour fixer les idées, ac < o. Soit v le plus 

 petit entier positif vérifiant les relations 



o<v-i<j^|<v: 

 la suite 



v,_,, v,,_„ y,_, V,, v„ 



a les propriétés cVuiie suite de Slurm, et l'on conclut de son exanlen que l'équa- 

 tion 



Vv^, = o 



n'a pas de racines réelles dans l'intervalle — -> — -• 

 Dans ces conditions, la suite 



Y,„ -V„_,, V„_,., -V„_„ ..., ±V„ ±W, (/i>v-i) 



