SÉANCE DU 29 MAI igoS. l44l 



OÙ u est la solution de l'équation (2) qui s'annule sur la circonférence de 

 rayon R, le symbole ( j désignant le maximum (pour \/x- 4- v-:'^R) de la 

 série des modules des coefficients du développement trigonométrique 

 correspondant. 



2. Il y a lin cas particulièrement intéressant. C'est celui où /est un polynôme du 



, , . . àz âz df , „ . . . „, 



second degré par rapport a -v— et -r— avec -r^ > o et ou 1 on sait a priori que 1 équa- 

 tion (i) admet au moins une solution régulière pour toute valeur finie de x et y (par 

 exemple z^=o). J'ai montré, dans une Note (') antérieure, que dans ces conditions le 

 problème de Dirichlet admet toujours une solution. Or la démonstration s'appuie 

 essentiellement sur la possibilité de limiter supérieurement les dérivées des deux pre- 

 miers ordres de s à l'intérieur d'une circonférence C, ainsi que sur la circonférence 

 elle-même, lorsqu'on connaît les deux dérivées premières de z par rapport à l'arc de 

 cette circonférence. Par conséquent, dans ce cas notre théorème se réduit simplement 

 à ceci : 



Une surface satisfaisant à l'équation {i) ne peut pas a^'oir de bords naturels ana- 

 lytiques. 



Ce cas présente d'ailleurs d'autres analogies avec les fonctions harmoniques sur 

 lesquelles j'aurai encore l'occasion de revenir. 



3. Si à la place de l'équation (1) nous considérons l'équation 



d-z 



(3) Ag-f-2B;^-.cg = l. (AC-B^>o), 



où A, B, C, D sont des fonctions analytiques de x, v, z, ^, ^, notre 



■' ' ■ dx dy 



théorème subsiste encore. Seulement, si l'on veut se débarrasser de l'hypo- 

 thèse parasite de l'existence des dérivées troisièmes, on est obligé de com- 

 pléter en quelques points la théorie des équations linéaires à coefficients 

 non analytiques. 



J'ai commencé cette étude par l'examen de l'équation (3) dans laquelle 



Yi^oc, y), au lieu d'être supposée finie, est comparable à '- -■, où oc <^ 2. 



On constate que ce cas ne se distingue pas essentiellement de celui 

 où y. = o. Une première application que j'ai faite de cette étude est la 

 démonstration que toutes les solutions de l'équation (3) admettant des 



(') 24 octobre 1904. Dans celte Note j'avais fait une hypothèse supplémentaire dont 

 je suis parvenu à me débarrasser. 



