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qu'on obtient, on éliminant les ç-^ y,,^, entre (i ) et les relations 



Pi P2 '" Pn — I ' 



Q,= ^ (y = .,3,. ..,. + ,). 



C'est en m'inspirant de cette Note que j'ai obtenu ma méthode pour la 

 résolution du problème dans le cas général. 



2. J'ai d'abord montré que le problème (ainsi que pour « = 2) est équi- 

 valent à trouver, sans aucune quadrature, toutes les lignes intégrales (ou 

 enveloppes de caractéristiques) de (2) avec l'équation Y = o. 



Ensuite, d'une proposition générale que j'ai établie sur la théorie des 

 enveloppes dans un hyperespace, j'ai déduit les théorèmes : 



Pour qu'une suite 1 simplement infinie de caractéristiques de (2). admette 

 une enveloppe, en dehors de l'intégrale singulière, il faut et suffit qu'une des 

 conditions suivantes soit remplie : 



I. Que les équations 



(3) V(,r,......v„^,,./,,...,«„)=o, 2£«/ = 0' 



1=1 



soient à la fois vérifiées pour les valeurs aft) et h/f t), définissant 1, pourvu 

 que ces valeurs ne vérifient pas identiquement, quel que soit t, toutes les n équa- 

 tions de la première colonne ( ' ). 



II. Que I, appartienne à une intégrale générale, sans appartenir à aucune 

 intégrale complète de (2). 



III. Que 1 appartienne à n —1 intégrales générales n^(.« = o, i ,...,« — 2), 

 chacune obtenue par l'élimination des a, entre les équations 



V = o, ©/a., ..,a„)=zo, r,, ' ' .' = o // = 2, 3 n); 



où les 0(= o sont, dans l'espace a,, . . ., a„, n — i hypersurfaces qui se rac- 

 cordent tout le long de la ligne image des râleurs a, définissant 1, et pas 

 ailleurs. 



(') L'ensemble de ceî formules (3) et (4), Juqiu' 

 îulie. au fond, que celui île M. Zervos. 



