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SÉANCE DU 26 JUIN igoS. 167^ 



imaginaires (B) d'Ossian Bonnet flont j'ai fait connaître précédemment les 

 propriétés essentielles (Comptes rendus, 27 juin et 11 juillet 1904). Ces 

 surfaces (B) sont isothermiques, comme les surfaces minima, dont elles 

 dérivent. 



Pour que la surface définie par une solution (cp, l) de l'équation (i) soit 

 isothermique, il faut et il suffit que l'on ait 

 (2) 2B„/y9„— 2A„y(p^ + (A„/ — B„r)9 = 0; 



ici, A(,(a) et Bo(!i) désignent des fonctions que l'on serait en droit de sup- 

 poser l'une et l'autre égales à l'unilé, comme le fait O. Bonnet, mais aux- 

 quelles il vaut mieux laisser toute leur indétermination : on se réserve 

 ainsi le moyen de simplifier considérablement certains calculs et de faciliter 

 la comparaison avec des résultats connus. 



J'ai discuté le système formé par les équations (i) et (2). Si l'on cherchait 

 à en éliminer ^, on obtiendrait pour cp deux équations aux dérivées partielles 

 du cinquième ordre. Aujcontraire, le système étant linéaire et homogène par 

 rapport à ç, l'élimination de ç ne présente pas de difficultés et donne pour 

 la fonction c, l'unique équation aux dérivées partielles du quatrième ordre que 

 voici : 



) Kl" p '^ \p (il ■ p- P'i r) \ Hl \p ^/ J 



et sur laquelle on vérifie immédiatement le théorème énoncé au début. 

 En effet, les dérivées quatrièmes de E ne figurant que dans le groupe 



l'équation différentielle des caractéristiques se réduit à 

 (A„r/a^— B„</p-)f/a£^Ô = 



et met en évidence : d'une part, les lignes de courbure, d'autre part, les 

 lignes de longueur nulle. 



A toute solution (^, A^, Bo) de l'équation (3) correspond le système 

 complètement intégrable formé par les équations (i), (2) et les deux dérivées 

 premières de l'équation (2). L'intégrale générale o de ce système est une 

 fonction linéaire et homogène de deux constantes arbitraires et pourra être 

 cherchée par la méthode de Mayer ou toute autre équivalente. 



