SÉANCE DU 18 JANVIER igo4. 

 avec les variables x,, x.,, . . ., .r„. 



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(i) 



X ; = (,, 



X'" 



o, 



linéairement indcpendanles. 



» Pour étendre l'idée de la complète intégrabilité, on rencontre ici tout 

 d'abord une considération qui ne se présente pas pour r= i. 



» Pour A-= 1 on peut dire : le système (i) est complètement intégrable 

 s'il existe m fonctions indépendantes ©, o,„ c\ex,, x^, ..., x„ telles que 



(^) 



'^[^■ts^l:=(^'i's (i= I, 2,. ..,/;/). 



En indiquant avec X(„,, X(,j,. ..., X,,),, les coefficients de X(,), on déduit 

 de (2) que 



(3) 



Y 11 



A(f)A II — 



àos 



ÔJO,, 



I s =1,2, . . .,m 

 \/i = 1, 2, ...,n 



et, par là, les o, étant indépendantes, le déterminant des j^., |a,j|ne peut 

 être nul. On peut donc substituer aux formules (2) les suivantes : 



(4) 



X'j; =^l^ifh^ (< = 1 , 2, . ..,fn). 



et alors l'indépendance des o, résulte directement de l'indépendance 

 linéaire des X(„, car on tire de (4) 



(5) 



^{C)/i 



àos 



à-r,, 



» Pour /■ = I les deux définitions, c'est-à-dire celle des formules (2) 

 (avec la condition que les <p^ sont indépendantes) et celle des formules (4), 

 coïncident, mais il en est autrement pour r'^i. Dans ce cas, si nous 

 posons 



(6) 



2;^.A,:„ = '/'■?.<' 



avec la condition des <ps indépendantes, les relations (3) ayant encore lieu 

 (où l'on entend par X(„^ les coefficients des d'\v,, en X'p), on en déduit : 



(7) 



^^r=^\c'l'oA 



