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mais alors on ne déduit plus des relalions (7) que les©,, sont indépen- 

 dantes, car de l'indépendance linéaire des Xj^j on ne déduit pas que la 

 matrice des seuls premiers eoefficienls |] X(, /, ]| soit différente de zéro. De 

 l'indépendance linéaire des X(j) on déduit que le déterminant | a,, | ne peut 

 pas être nul. 



)) Si donc nous disons que le système (1) est complètement intégrable 

 quand sont satisfaites les relations (7), nous donnons une définition plus 

 étendue qui comprend, en particulier, le cas où les o,. sont fonctions indé- 

 pendantes. 



)) En formant les 



avec les conditions 



(8) A(,,=2]^A-X(,,A=o (/ = 1,2, ...,/«)' 



A = l 



on a les transformations infinitésimales du système adjoint au système (i), et 

 nous dirons en outre que le système (1) admet une transformation infinité- 

 simale î, alors que iXj,) est une combinaison linéaire des X(, . 



» Or je dis que si le système (i) est eomplètement intégrable, il admet 

 toutes les transformations infinitésimales du système adjoint. 



» En effet, de (8), en substituant à X(, /, sa valeur donnée de (7), on a 



m 

 ( = 1 



et le déterminant des X^, n'étant pas luil, on a ïç,= o. Mais 



1=1 1=1 



d'où, ayant 



Zd'\i= d''E'f,= o, 



on déduit le théorème, en substituant auK d'o^ leurs expressions au moyen 

 des X(,) données par les relations (7). » 



