SÉANCE DU 18 JANVIEII 1904. ' l3'J 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le genre de la dérivée d'une fonclion entière 

 et sur le cas d'exception de M. Picard. Note de M. A. Wimax. 



« Laguerre, qui a introduit la nolion de genre d'une fonction entière, a, 

 dans des cas particuliers, prouvé qne le genre de la dérivée est égal à celui 

 de la fonction ('). On a généralement admis que celte propriété subsiste dans 

 tous les cas, bien que personne n'ait réussi à en trouver la démonstralion. 

 Or, nons avons prouvé qu'il n'en est pas ainsi. Au contraire, il existe des 

 fondions F{z) -{- c de genre p dont la dérivée ¥'(:) est de genre p — i- Dans 

 ces cas exceptionnels il n'y a quune valeur c telle que le genre de ¥ {z) + c se 

 réduit àp — i . Par exemple, la fonction 



est bien de genre un, la dérivée, d'après une proposition, connue de 

 Laguerre, étant de genre zéro. 



» C'est là un fait qui peut être regardé comme corollaire d'un théorème 

 que nous allons énoncer sur les fonctions entières telles que M(r) dési- 

 gnaul le maximum du module de la fonclion, le genre n'est pas déterminé 

 par le mode de croissance de M(r). Que de telles fonctions peuvent, en 

 réalité, se présenter a été établi, comme l'on sait, par MM. Boutroux 

 et I.indelof, et ces auteurs ont utilisé ce résultat pour constater que la 

 somme de deux fonctions de genre p — i |)eul bien être une fonction de 

 genre /j(-). Or, nous avons trouvé que l'on peut compléter ces résultats 

 par le théorème suivant : 



» Soit F (:) une fonction entière de genre p — i et d'ordre apparent p, et 

 désignons parf(z) une fonction quelconque d'ordre apparent inférieur à p. 

 Supposons en outre qu'il ne suffit pas pour déterminer le genre de la fonc- 

 tion F (s) de connaître le mode de croissance de son module maximum. Le 

 genre de la fonction F (;) +f(z) est alors dans tous les cas égal à p. 



( ' ) Voir l'exposition des idées de Laguerre par M. Borel dans son livre, Leçons sui- 

 tes fo/ictions entières, Paris, 1900. 



(^) Voir, outre des Notes insérées dans les Comptes rendus (1901-1902), Lindelof, 

 Mémoire sur la théorie des fonctions entières d'ordre fini {Act. Soc. Se. Fenn., 1902), 

 et la tlièse de M. Boutroux qtii \a paraître dans les Acta malhenialica. 



