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» Ainsi, F (z) étant la fonction dans l'exemple que nous venons de 

 donner, et /(') étant d'ordre inférieur à un, le genre de F ( z) -h/(z) est 

 égal à un, bien que la fonction F(;) soit elle-même de genre zéro, 



» La fonction F (s) satisfaisant aux conditions énoncées, nous pouvons 

 caractériser F (z) qui peut être un produit canonique comme un cas d'ex- 

 ception de M. Picard, en poussant la généralisation de cette notion, due à 

 M. Borel, encore plus loin. En effet, comme les modules des zéros de la 

 fonction F (^) croissent plus vite que ceux de toute fonction F (:;) -\-/Çz), 

 on peut dire que la propriété caractéristique du cas d'exception subsiste. 

 D'ailleurs on comprend aisément que la possibilité d'une telle précision de 

 la notion de fonction exceptionnelle existe généralement dans le cas d'ordre 

 entier et ne dépend pas du mode de croissance du module maximum. 



» On connaît la propriété de la fonction e", fonction exceptionnelle par 

 préférence, que le module maximum et l'inverse du module minimum 

 sont du même ordre de grandeur. De plus, l'on peut diviser le plan de la 

 variable complexe par 2.p droites, issues de l'origine, dans -ij) parties 

 égales telles que les modules dans deux parties voisines sont d'ordre de 

 grandeur inverse. Mais, si l'on exclut du plan de la variable complexe les 

 environs des zéros, ces propriétés, avec des modifications convenables, 

 subsistent s;ènèralement dans le cas d'exception. Eu effet, on peut démon- 

 trer que, dans les cas d'ordre entier où les inégalités qui sont établies par 

 MM. Boutroux et Lindelôf entre l'ordre de grandeur du module maximum 

 et la distribution des zéros dans le cas d'ordre non entier ne sont plus 

 vérifiées, le facteur duquel dépend essentiellement l'ordre de grandeur 



est de la forme e '^"'•' , la sommation sur des zéros «„ étant convenable- 

 ment choisie. 



» Inversement, on peut faire la démonstration que de telles propriétés ne 

 peuvent appartenir qu à un cas d'exception. Les fonctions F(:) et Y{z)-\-f{z) 

 se comportent, il est vrai, de la même manière dans les parties du plan où 

 l'ordre de grandeur de F(3) est positif. Mais, si l'on fait usage du théo- 

 rème de M. fladamard (') (auquel ou peut d'ailleurs donner beaucoup 

 plus de précision) sur le module minimum d'une fonction entière /(s), 

 on peut démontrer que dans les parties du plan où l'ordre de grandeur 

 de F(s) est négatif, la fonction F(;)+/( = ) se comporte, en général, 

 comme /(:), l'ordre de cette fonction étant inférieur à/J. 



(') Voir le Livre cilé de M. Boiel, p. 7H, 



