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cette fonction est définie pour z négatif. Formons alors l'expression 



Ce sera l'intégrale cherchée, doublement périodique, et continue sauf aux 

 jioints (^r/,-\-ma, (i 4- nh), où elle devient infinie d'une manière logarith- 

 mique avec un coefficient facile à calculer. 



» 3. Le problème précédent est susceptible d'être généralisé. Envisa- 

 geons l'équation 



ô- a d- Il . 



1-^ -H -r^, = A(.r, y).u, 



ux- oy- " ^ 



où A(a-,j) est une fonction continue toujours jDOitViVe de a? et j avec les 

 périodes a pour a; et Z> pour y. 



» Jl ne peut exister qu'une seule intégrale a de cette équation, double- 

 ment périodique avec les périodes a et h, bien déterminée et continue, 

 sauf en certains points (a,, jB,) et leurs homologues, où u possède des infinis 

 de type logarithmique, caractérisés par des coefiicienls donnés. L'existence 

 de cette intégrale peut se démontrer directement, en modifiant convena- 

 blement les procédés suivis par M. Schwarz dans la théorie des fonctions 

 d'une variable complexe. 



» J^e problème précédent n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'un pro- 

 blème que j'ai traité antérieurement dans une Note (') : Sur l'équilibre 

 calorifique d'une surf ace fermée rayonnant au dehors. La question ci-dessus 

 revient au cas particulier de l'équilibre calorifique sur un tore, pour lequel 

 le pouvoir émissif varie suivant une loi convenable, reliée à A(a;, y) d'une 

 manière simple. Les infinis logarithmiques correspondent visiblement aux 

 sources de chaleur. 



» 4. Un problème d'une tout autre nature, relatif aux solutions pério- 



(') Sur l'équilibre calorifique d'une surface j'ennée rayonnant, au dehors 

 {Comptes rendus, 5 juin igoo). Pour plus de détails sur la nature dus singularités on 

 pourra consulter ma Note des Comptes rendus, 2 juin igoS. 



