SÉANCE DU 2.5 JANVIER lÇ)Of{. l83 



diqiies, se pose évidemment pour une éqnalion 



f{oc,y) élant une fonction continue doublement périodique, et de signe 

 d'ailleurs quelconque : c'est la recherche, quand elles existent, des solu- 

 tions doublement périodiques partout continues. De telles solutions 

 n'existent pas en général. Il n'est pas douteux que la méthode de M. Freed- 

 hoim, à laquelle j'ai f;n't plus h;iut allusion, s'adaptera très bien à cette 

 question. 



» 5. Un problème analogue à celui des paragraphes 2 et 3 se pose pour 

 d'autres équations que des équations linéaires. Soit l'équation 



où A(a', y) est une fonction positive, toujours continue, et de périodes a 

 et h. Une solution doublement périodique (aux périodes a et b) de cette 

 équation est complètement définie par ses |:)oints singuliers logarithmiques 

 O,, On, .. ., 0„ et les coefficients correspondants dans un parallélogramme 

 de périodes. Au point singulier O,-, l'intégrale doit devenir infinie comme 



a, logr, [r, étant la dislance du point {x,y) au point 0/j. 



» On suppose, en outre, que 



et enfin on doit avoir pour les n coefficients relatifs aux n points sin- 

 guliers, 



a, H- 7.0 H- . . . + a„ < O. 



» Sous ces condilions, l'intégrale est complètement déterminée. Ceci 

 résulte des méthodes suivies dans mes études relatives à l'équation A?/ = e" 

 sur une surface fermée (' ). Ua surface fermée correspondant au problème 

 |)récédent se réduit manifestement à un lore. 



11 Ces exemples particuliers suifisent à montrer la variété des questions 

 qui peuvent se poser dans l'étude des équations aux dérivées partielles à 

 coefficients doublement périodiques. " 



(') Journal de îMaLhémaliques, i SgS. Noir aussi mon Mémoire sur ce sujet 

 {Bulletin des Sciences mathématiques, igoo, p. 196), qui complète sur quelques 

 points essentiels le travail précédent. 



