26o ACADÉMIE DES SCIENCES, 



décrivant des surfaces satisfaisantes, pour lesquels 



(h- = h-{]\du--{- i'W](k-. 



)) Les surfaces (M) et (M') possèdent la propriété suivante : 



» Sur ces surfaces les lignes de courbure se correspondent . les rayons de 

 courbure principaux sont les mêmes, enfin les distances de M et M' à un plan 

 fixe sont dans un rapport constant. 



» L'intersection G des plans tangents en M et N décrit une congruence 

 plusieurs fois C. L'équation E^ (voir loc. cit. plus haut) à laquelle satisfont 

 les paramètres de cette congruence possède la propriété caractéristique 

 suivante : 



» Tous les groupes de solutions quadratiques, sauf deux (voir loc nt.. 

 p. 2 1 i), ont une solution linéaire commune; celle solution est solution isotrope 

 des deux groupes exclus. 



» Si 6 est un angle constant, l'équation (4) admet les solutions 



z,=x^, -^ = j\, ;, = cosO.r.,, z. = slnhr., 



et la solution z] + -o + =i; + '■' ; il en résulte que le point h{z, z., s.,) décrit 

 un réseau 2O, la coordonnée complémentaire étant z.,. Si le point M est 

 sur la sphère dont l'équation est 



^1 + ^ii + ■^'3 = I . 



le point R sera sur la quadrique de révolution 



(5) ^^ + ^^+^^ï = '' 



Le réseau R sera donc découpé sur cette quadrique par une congruence 

 de normales à une surface. 



)) On vérifie d'ailleurs facilement que, parmi les surfaces qui ont même 

 représentation sphérique que la surface (M), il en existe une dont les 

 plans principaux sont conjugués par rapport à la quadrique (5 ). Ces deux 

 derniers résultats permettent d'énoncer les propriétés suivantes : 



» Toute surface dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une 

 quadrique de révolution sont des surfaces satisfaisantes. 



» La recherche de la représentation spliérique des surfaces demandées revient 

 à celle des surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à 

 une quadrique de révolution. 



)> Cette recherche revient à la résolution de l'équation E/-» - 

 (DA.RBOUX, Leçons, ■1'' Partie, Chap. XIII et XIV). » 



