SÉANCE DU l"' FÉVRII-U iqo4. 261 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les /unclio/is entières. Note de M. A. Pellkt, 

 présentée par M. H. Poincaré. 



« Soient «,,ao, ...,«„, ... des j)oints isolés dans le plan des quantités 

 imaginaires, en nombre infini, le nombre n des points situés dans le cercle 

 de rayon r, ayant pour centre l'origine, étant d'ordre p par rapport à r; 



jp^ tend vers o et -^37 vers l'infini; pour r tendant vers l'infini, z quantité 



positive aussi petite que l'on veut. Posons 



S,, — a\ -h a':, ~\- . . . -h (7^, (/,■ nombre entier) ; 



k étant négatif, S/, est une série absolument convergente, si — A _> p; dési- 

 gnons par (j le plus petit nombre entier positif tel que S^. soit convergente 

 pour — Â\>q el par S/, la différence entre S /, pour r infini et S /, pour k >> q. 

 On peut prendre pour facteur primaire de la fonction /( x) admettant pour 

 racines les quantités a 



■2." \ <U •>ii'-^' ^ „,,'' 



» Le produit de ces facteurs primaires n'est pas absolument convergent; 

 il faudra prendre toujours l'ensemble des facteurs correspondant aux 

 racines situées dans le cercle r. Soient /■, le rayon du plus petit cercle 

 contenant les n premières racines, r., celui du plus grand cercle laissant 

 toutes les autres à l'extérieur, la fonction canonique pour /o^- 1 j:-| >■ r, est 



./(^) =(-')": 



r.(..n-ii(i) 



en posant 



jj , I \ _ S, S, S/, 





,j,c7+i 



J^' 



» La somme des modules des termes de H ( - j + G{.r) est dans un 



rapport fini avec« lorsque p n'est pas entier; il en est de même lorsque p est 

 entier, en excluant le terme en r?; celui-ci peut être de l'ordre /;/,',"", 



i infiniment petit positif avec -• 



