SÉANCE DU l"' FÉVRIER 1904. 263 



rationnels; on pourra toujours supposer «„ = ± ^' (/>„, q„ entiers, premiers 



entre eux ou non). (/„+, étant divisible p;ir r/„ (i > o). Supposons de plus 

 que les conditions suivantes [conditions (A)] soient remplies : ou-bien 



les a , sont positifs, ou bien -^ croît constamment et indéfiniment avec a 



{a,„ rt,M,.7^ o, «„+,=. . .= «„+(..-, =■ o, i^-> o). Si, à partir d'une certaine 

 valeur de//, p„, est d'ordre de grandeur inférieur à une certaine fonction 



croissante 'I'„ de n, qui dépend du mode de décroissance des «„, ./( - j <'^' 



irrationnel quel que soit l'entier q^i\ en particulier /(i) est irrationnel. 

 L'ordre de grandeur de '\\, croît avec l'ordre de grandeur des inverses des 

 coefficients «„. 



» Dans les mêmes conditions, quand ers fonctions cnliêres sont (V ordre 



(o, I, p), /(- ) (/^ q premiers entre eux et positifs) est irrationnel tant que p 

 ne dépasse pas une certaine limite; quand ces fonctions entières sont d'in- 

 dice^2, fi- \ est irrationnel; enfin, quand l'indice est ^'\, /(-) est trans- 

 cendant. 



1) Par exemple, la fonction entière étant absolument quelconque [condi- 

 tions (A) réalisées ou non], d'ordre nul et d'indice Çini k l'i , avec 



/(- ) ne peut être algébrique, et, si les conditions (A) sont réalisées, il est 



transcendant. 



)) Tout étant posé comme au premier alinéa de I : 



» II. Si — — croît constamment et indéfiniment avec /t, quel que soit 



l'ordre de ./'(r ) supposé toutefois non transfini, fi y) est transcendant 



dès que croît indéfiniment avec /i, et /^« = (log/trt)'. 



» Il y a des extensions au cas où /( <- ) ("^t, d'ordre transfini. 

 » Considérons toutes les fonctions entières de la forme 



II 



avec '^^^-^ entier, />„ entier positif, (/„ enliei- — eA('0 "^ ' /•' =1 J< /^«iSt'/X/')'" 



