SÉANCE DU 8 FÉVRIER 1904. ^Sq 



). De même, la fonction méromorphe y de M. Painlevé, définie par 



l'équation 



y" = 2/^ +• xy 4- a, 



peut être mise sous la forme du quotient de deux fonctions entières ; la 

 fonction dénominateur vérifie une équation différentielle du troisième 

 ordre, dont le premier membre se réduit à l'invariant (m-)''' («'*)- {m^{vw) 

 de la forme cubique u\. 



» Tl est inutile de multiplier les exemples pour se convaincre qu'il y 

 a là un ensemble de faits analytiques dont la raison serait intéressante à 

 connaître ('). Hermite disait volontiers que « l'observation attentive des 

 » faits analytiques est la source la plus t'éLOiide des découvertes mathéma- 

 » tiques » ; le souvenir de ces paroles m'a encouragé à publier cette Note, 

 bien qu'elle ne contienne que des faits, sans théorie qui les explique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certninea fondions thêta et sur quelques- 

 unes des surfaces hyperelliptiques auxquelles elles conduisent. Note de 

 M. Traynard, présentée par M. G. Humbert. 



« I^orsqu'on cherche à mettre une fonction périodique de deux variables 

 à quatre périodes sous la forme du quolieiit de deux fonctions thêta, on 

 est conduit (^) à considérer les fonctions n(U, V) qui satisfont aux rela- 

 tions suivantes : 



n(u -+- ii^, V) = n(u, V -+- 2î7t)= n(u, v). 

 n(u + A,v + B) =é^""-^'^n(U,v), 



n(u + A', V + li') = e""^-^^ II(U, V). 

 )) La substitution 



U'=-^-l-D. V'=-V + E, 



D et E étant des constantes convenables, les ramène à des fonctions admet- 

 tant les périodes 



(Tm) 1^' . 



[ o, in:, B, B'. 



A A' 

 ir' °' M' M' 



(') Il y aurait lieu de s'occuper aussi des covarianls des formes binaires, des inva- 

 riants et des covariants simultanés, etc. 



C) Voir Painlevé, Comptes rendus, i4 avril 1902, p. 8i3. Voir aussi Appkll, 

 Journal de Mathématiques, 4° série, t. VII, p. 199. 



