2JW, o, ^, B, 



340 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



A' 

 » Comme d'ailleurs — - ^ B, ces nouvelles fonctions sont donc certaines 



des fonctions thêta aux périodes 



(T) 



( o, 21-, B. B'; 



mais ce ne sont pas les plus générales. On voit que leur ordre est Mn. 



» J'ai étudié plus particulièrement les fonctions pour lesquelles M = 2, 

 en introduisant des caractéristiques comme pour les fonctions thêta ordi- 

 naires; j'ai déterminé leur nombre, leur parité et les demi-périodes qui les 

 annulent. Il est d'ailleurs facile de trouver les résultats analogues pour les 

 diverses valeurs de l'entier positif M. 



» En prenant pour coordonnées homogènes d'un point quatre fonctions 

 paires d'ordre r, de caractéristique nulle par rapport au Tableau (T,) de 



périodes, on obtient une surface de degré — au plus, au lieu de r" comme 



pour les fonctions ordinaires. En appelant ©„„(«, ç'), 0o,(«,c), 0,„(«,t'), 

 0, ,(«,(') les quatre fonctions ordinaires du second ordre ('), il y en a 

 deux, 0„„, ©0,, qui admettent la période i~, o; il faut donc prendre des 

 fonctions du quatrième ordre pour obtenir une surface. 



» Il y a six fonctions paires du quatrième ordre qui admettent le Tableau 

 de périodes (T,); on peut les représenter par 



» La surface la plus générale, obtenue en prenant pour coordonnées 

 homogènes d'un de ses points quatre expressions linéaires par rapport 

 aux fonctions précédentes, est du luiitième degré; ce degré s'abaisse 

 d'une unité si les quatre coordonnées sont nulles pour u = ?/„, r = v^, et 

 de deux unités, si «0. ''0 est une demi-période ordinaire ('). 



» On obtient ainsi des surfaces : 



» Du huitième degré à 16 points doubles; 



» Du septième degré à 16 et i5 points doubles; 



» Du sixième degré à 16, i5 et i4 points doubles; 



» Du cinquième degré à i5 et i4 points doubles; 



» Du quatrième degré à i4 points doubles. 



» Pour obtenir les équations de ces surfaces, j'ai employé la relation 



(1) Voir HuMBERT, Journal de Mathématiques, 4' série, l. IX. 



(2) J'entends par là les demi-périodes (11'), (i-2'),(i3'),(i4'),(3i'), (Sa'), (33'), (34'). 



