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)> ].a surface est du quatrièttié degré et a i4 points doubles. 



M Chacun des plans jTj = o, a;, =0 la coupe suivant une conique, courbe 

 iinicursale singulière, et lui est tangent suivant une tlroite qui contient 

 .3 points doubles. 



» Chacun des plans j:^ = o, x,, = o la coupe suivant deux coniques dont 

 les points d'intersection sont /( points doubles. 



)) J'ai démontré que les courbes algébriques tracées sur ces surfaces 

 s'obtiennent en égalant à zéro une fonction thêta normale paire ou impaire 

 admettant les périodes du Tableau (T^) avec une caractéristique quel- 

 conque. On peut, par celte proposition, arriver à la classification de ces 

 courbes. 



» Je poursuis l'étude de ces surfaces par une méthode géométrique qui 

 utilise la relation dont le calcul a déjà montré l'existence entre elles et la 

 surface de Rummer. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries entières à coefficients entiers. 

 Note de M. Fatou, présentée par M. Painlevé. 



« Les séries entières à coefficients entiers s'introduisent dans un grand 

 nombre de questions d'analyse. On sait, par exemple, qu'une série entière 

 à coefficients rationnels, qui est le développement d'une fonction algé- 

 brique, peut être ramenée à avoir iCi coefficients entiers par le changement 

 de X en Na; (N étant un entier). C'est la forme que l'on peut donner à la 

 célèbre proposition d'Eisenstein (' ). 



» Je me jjrOpose de faire voir que le rayon de convergence d'une telle 

 série est toujours plus petit que i, à moins que la fonction algébrique consi- 

 dérée ne se réduise à une fraction rationnelle dont tous les pôles sont des racines 

 de l'unité. Supposons, en effet, que la série 



y(^x) = a,x -\- a.,x- -h. . ., 



convergente dans le cercle de rayon 1 , représente une branche de fonction 

 algébrique définie d'autre part par l'équation algébrique irréductible 



Y{x,y) = o. 



F aura ses coefficients entiers. On pourra donc, en multipliant y par un 

 polynôme à coefficients enliers, obtenir une fonction algébrique '{x) qui 



(') Voir Her.hite, Cours lithographie de la Facitllé des Sciences. 



