SÉANCE L)U 8 FÉVRIER igo/j- 3 '(3 



reste finie en tout point ;i distance finie. Soit s(a;) la branche de cette 

 fonction correspondant a y (a-); :-(x) sera également représentée par un 

 développement de Maclaurin à coefficients entiers convergent dans le 

 cercle de rayon i. Or z(x) étant régulière, sauf en un nombre limité de 

 points où elle reste finie, il résulte de propositions bien connues que la 

 série ^(a:;) devrait converger sur le cercle de rayon i, résultat incompa- 

 tible avec ce fait qu'elle a ses coefficients entiers; il faut donc que z{x) se 

 réduise à un polynôme. Nous arrivons donc à cette conclusion : une fonc- 

 tion algébrique (non rationnelle) représentée par une série entière à coef- 

 ficients entiers [.ossède au moins un point de ramification à l'intérieur du 

 cercle de rayon i . 



M Quelles sont maintenant les fracli(jns rationnelles auxquelles cor- 

 respond un développement en série à coefficients entiers de rayon de 

 convergence égal à i, ce que nous appelons une série du type(E)'! La solu- 

 tion de cette question est de nature purement arithmétique. Elle repose 

 sur le lemme suivant : 



» Si la fraction rationnelle irréductible --/ donne lieu à un développement 



à coefficients entiers ordonné suivant les puissances ascendantes de x, le poly- 

 nôme g{x) sera nécessairement à coefficients entiers, son terme constant étant 

 égala I. 



» Soit alors A le coefficient du terme du |ilus haut degré '\:\nfi g(x); les 

 racines de g{x) devront être > i en module; le produit des modules étant 



égal à -^:, il faut que l'on ait : A = ± i, et les zéros de g(x), qui sont des 



entiers algébriques, ont tous l'unité pour module. Ce sont donc, d'après 

 un (hèorème de Rronecker, des racines de l'unité, et la fraction rationnelle 

 pourra être mise sous la forme 



[i — x")'" 



» On démontrerait, comme plus haut, que, les fractions rationnelles 

 précédentes étant exclues, une série du type (E) ne peut représenter une 

 intégrale régulière d'une équation différentielle linéaire. 



» Les séries du type (E) se rencontrent fréquemment dans la théorie 

 des fonctions elliptiques et dans les applications de l'analyse à la théorie 

 des nombres. Celles de ces séries dont la nature analytique nous est connue 

 ont d'ailleurs leur cercle de convergence comme coupure. 



» Je citerai, comme exemple nouveau, la série : 



.T- -^- X^ -\- X^ -h . . . + X'' -h .. ., 



