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les exposants de x étant les nombres premiers. Cette série ne rentre dans 

 aucun des types connus de séries non continuables; j'ai pu démontrer 

 cependant qu'e//e a comme points singuliers sur le cercle, toutes les racines de 

 l'unité d'ordre p, quand p est premier. En réalité, je fais cette démonstra- 

 tion pour la série V—; ce qui permet d'utiliser les formules de M. Mertens 



{Journal de Crelle, I. 78) relatives à la distribution des nombres premiers 

 dans la progression arithmétique. 



» Il en résulte de là que le procédé de Riemann pour obtenir le prolon- 

 gement de la fonction 'C{s) ne s'applique pas à la série ^ — [étendue aux 

 nombres premiers ^ ( ' )] . » 



AIsALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros d'une classe de transcendantes 

 multiformes. Note de M. Georges Remoundos, présentée par M, Emile 

 Picard. 



« 1. Dans un travail, qui paraîtra prochainement dans le Bulletin de la 

 Société mathématique, nous avons envisagé les fonctions u{z), d'un nombre 

 infini de branches, définies par une équation telle que 



(i) c„(iO -t-'^.(")A,(-) + '^2(")Ao(^) +...-^n^{a)k.,{z)=^Y{z.,u) = o, 



où les o,(«) et A,(z) «lésignent des fonctions entières quelconques (-) et 

 nous avons démontré le théorème suivant, en nous appuyant sur un théo- 

 rème fondamental de M. Borel [Mémoire sur les zéros des fonctions entières 

 (Acla maihemalica, t. XX, p. SSy)], à savoir : 



» Si u,, u.,, . . ., Uy, «v+i désignent v + i valeurs exceptionnelles de u, ne 

 faisant pas partie de l' ensemble (E) (^), on aura 



ffo("0 s («2) ••• S("V-H,) 



«.('/,) -^.("2) ••• cr.(«v+,) 



(p(M,, U.^, .... «V, «v+i) 



c?v(")) "^vC^a) 



■("v+i) 



O. 



(1) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Landau, Journal de Crelle, t. 125, p. 102. 



{-) A la vérité, j'avais dû supposer que les A(^) sont de genre fini. Mais je me suis 

 aperou récemment qu'une importante proposition de M. Borel m'affranchit de toute 

 restriction. 



(3) L'ensemble E comprend toutes les valeurs de 11, pour lesquelles F{z, 11) est une 



constante. 



