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trois cosimis directeurs de celle-ci, le flux F„ de chaleur qui pénétrera du 

 dehors, à travers dn, admettra, par unités d'aire et de temps, l'expression 



(4 ) F„ = Fy cns 0. -I- F, ces fi + F. cos y, 



et, la température extérieure restant nulle, on aura, si k désigne la con- 

 ductibilité superficielle de cet élément dn, la relation définie spéciale 



(5) F„ = — X« (à la surface). 



» IIT. Rappelons d'abord comment on reconnaît qu'il existe, pour //, 

 certaines valeurs à signe uniforme dans tout le corps et invariable de / = o 

 à / = oo, positif par exemple, ou, en d'autres termes, des valeurs ne s'an- 

 nulant nulle part dans le corps, si ce n'est asyinplotiquement , pour / infini. 

 Il suffit, à cet effet, d'imaginer que, pour / = o, la température u, alors 

 arbitraire, soit choisie partout positive. Elle ne pourrait, à un moment 

 donné, s' abaisser ']\i?,(\i\k zéro, au point du corps où elle descendrait le plus, 

 sans que ce point, dès lors entouré d'autres plus chauds ou de surfaces 

 isothermes à températures croissantes de l'une à l'autre, en reçût de la 

 chaleur. La fonction u serait donc en train d'v croître et non d'v arriver à 

 zéro. Le raisonnement s'applique même au cas oîi le point du corps le plus 

 refroidi et censé ainsi atteindre au zéro, appartiendrait à la superficie g ou 

 ne serait plus, par suite, entouré complèlement de surfaces isothermes à 

 températures croissantes ; car, du côté du dehors où ces surfaces se trouve- 

 raient interrompues, aucune perte de chaleur ne pourrait se produire, 

 puisque la température extérieure est constamment nulle. 



» Parmi les intégrales du système (i) et (5), toutes décomposables ( ' ) 

 en solutions simples de la forme C> ""U, il en existe donc qui sont par- 

 tout positives; et comme, pour / très grand, leur partie, qu'on peut 

 écrire ^^'"■'U,, affectée 'de l'exponentielle la plus lente à s'évanouir, les 

 représente avec une approximation indéfinie, la fonction continue U,, qui 

 multiplie dans l'une d'elles cette exponentielle t'~"'<', est essentiellement 

 positive en tous les points (.r, y, s) du corps. 



» Nous qualifierons de fondamentale, et nous représenterons par w'. une 

 telle solution simple e~"''U,, continue et différente de zéro dans tout le 

 corps. Le quotient de toute autre solution, u, par celle-là «', sera donc 



(') On peut voir, à propos de cette déconiposition, la XV" de mes Leroiis sur la 

 Théorie analytique de la chaleur, mise en harnionie avec la Thermodynamique 

 et la théorie mécanique de la lumicre\(\\\,\\t. 229 à ■?.'\'i). 



