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unique ye""'i'U,, à la seule condition que l'état initial n'annule pas la con- 

 stante y. 



» \. Au reste, le nivellement final des valeurs de v se reconnaît analyt:- 

 quement, en multipliant la première (8) soit par l'élément de volume </cj, 

 soit par vdu, et en intégrant, à la manière ordinaire, dans toute l'élendiu^cj 

 da corps, avec mise en compte de la seconde relation (8). Grâce, dans le 

 second cas, à d'évidentes intégrations |)ar parties, l'on obtient, si i^ désigne 

 ce que devient le potentiel o des flux quand r y remplace u, 



(.o) ^^Jj{}\vdu = o, ^j''jv:Çci.s=-^£i:^du. 



» Or la première de ces formules montre que la valeur moyenne (conve- 

 nablement définie) de v est constante. Quant à la seconde, le dernier 

 terme y étant essentiellement négatif tant que ^ ne s'annule j)as, c'est- 

 à-dire tant que v est \ariable d'un point à l'autre, l'intégrale définie qui 

 figure au premier nsembre y décroît sans cesse; et, comme son minimum 

 nul l'empèclie de décroître infiniment, sa dérivée en l tend vers zéro, 

 imposant ainsi à i la valeur asymptotique zéro, ou exigeant l'égalisation 

 finale des valeurs de v. 



» VI. Supposons enfin que l'intégrale u soit, elle-même, une solution 



simple, de la forme e-""\]. Le quotient r deviendra e-''"""''''|j-; et, si l'on 

 appelle W ce que tlevient i par la substitution de -^- à v, la seconde équa- 

 tion (lo) prendra, presque immédiatement, la forme 



(il) (/;? - m,) rpU-r/ci = 2 / U;'!- 



» Pour toute fonction, U, distincte de U,, c'est-à-dire ne réduisant pas 

 leur quotient à une constante ou n'annulant pas W, il est clair que cette 

 formule donnera m > m,. Ainsi, au ])reniier coefficient m, d'extinction, il 

 corres[>on{| bien la fonction unique U, ('j. » 



(') La j)iésenLe Note complète une question que j'avais discutée, niais sans la 

 résoudre d'une manière ijénérale, vers la fin de la seizième de mes Leçons sur la 

 Tliéoric analytique de la chaleur, mise en harmonie aveu la Tiiermodynamique et 

 aK'ec la Théorie mécanique de la lumière (t. 1, p. a54); elle remplacerait avantageu- 

 sement leur page ajj. On en trouvera une rédaction jikis développée, étendue lueilie! 

 au cas de corps dont les |iropriétés calorilique^ dépendiaient du temps, dans le 

 numéro de février içto^ du lliilletin des Sciences ma/héma/iques. 



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