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ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 22 FÉVRIER 1904. 



PRÉSIDENCE DE M. .MASCART. 



MÉMOIRES ET COMMUMCATIOIVS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des fonctions 

 algébriques de deux variables et de leurs intégrales. Note de M. É.mile 

 Picard. 



« 1. En présenLaiit, il y a quelques semaines, à l'Académie, la seconde 

 partie du Tome II de ma Théorie des fonctions algébriques de deux variables, 

 j'appelais l'altention sur les recherches à poursuivre encore dans cette 

 théorie. L'une des plus importantes concerne le nombre, que je désigne 

 par p, et qui joue un rôle fondamental dans la théorie des intégrales de 

 différentielles totales de troisième espère. J'avais jusqu'ici quelque incer- 

 titude sur la valeur de ce nombre pour la surface la plus générale de 

 degré m. Or, mon attention vient d'être récemment appelée sur une page 

 du Mémoire célèbre de M. Nother relatif aux courbes algébriques {Mémoires 

 de l'Académie de Berlin, 1 882, § 1 1 et 12). Notre illustre Correspondant d'Er- 

 langen y démontre que, sur la surface la plus générale de degré m (w = 4), 

 toute courbe algébrique est V intersection complète de la surface avec une autre 

 surface. A la vérité, la démonstration fondée sur une énumération de 

 constantes ne peut être regardée que comme rendant le théorème extrême- 

 ment vraisemblable, et il y aurait lieu de revenir sur la question. Admettons 

 toutefois le résultat. Il est pour nos recherches de grande importance ; car on 

 en déduit de suite (\ug, pour la surface la plus générale de degré m {rn>[^), 

 on a 



,0=1, 



et que, de plus, toute intégrale de différentielle tolcde relative à la surface est 

 une combinaison algébrico-logarithndque. 



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