438 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est 

 alors donné, pour la surface générale de degré m, par la formule 



^^ — {m — i)(m^ — '^ln + 3), 

 en appliquant la formule générale de la page 873 de mon Traité : 



(i) Po = N-/i/> — ('"-0— (p-O- 



Parmi les surfaces pour lesquelles on a p =1, je citerai encore la surface 

 de Kummer, comme il résulte facilement d'un théorème de M. Humbert, 

 et aussi les surfaces hyperelliptiques générales, comme je l'ai montré 

 {Annales de l'École Normale, 1901). 



» 2. J'ai examiné (loc. cil.) les surfaces dont l'équation est de la forme 



(S) z"' = x"'-hP(y) (m>^), 



où P(j) est un polynôme arbitraire de degré m, et j'ai montré que l'on a 



pour une telle surface 



p =(777 — i)=-i-i. 



On voit que, quoique la surface S n'ait aucune singularité, le nombre p est 

 bien différent pour elle de ce qu'il est pour la surface générale de degré m. 

 La formule précédente suppose d'ailleurs que V{y) est arbitraire; pour 

 des polynômes P spéciaux, la valeur de p sera différente et la nature arith- 

 métique des coefficients peut jouer un grand rôle. J'ai déjà insisté, dans 

 des cas particuliers, sur la dépendance entre p et la nature arithmétique des 

 coefficients de l'équation de la surface (voir, par exemple, p. 323). En 

 appliquant la formule (i), on trouve de suite, pour la surface (S), 



f,^(m — i)(m-oy-. 



» 3. L'importance du nombre 



N — 4jy — (m — i) 



est considérable dans la théorie des intégrales doubles de seconde espèce. 

 Or, il y a quelques jours, M. Castelnuovo vient de me communiquer une 

 remarque très intéressante à ce sujet. Ce nombre coïncide, à une unité 

 près, avec l'invariant relatif I que M. Enriques et lui ont envisiigé dans 

 leur beau Mémoire Sopre alcune questioni fondamentali nella teoria délie 

 superficie algehriche, publié en 1901 dans les Annali di Matematica. C'est 

 la considération des systèmes linéaires de courbes qui les a conduits à cette 



