SÉANCE DU 22 FÉVRIER 1904. 489 



combinaison. De plus, sur une surface ne possédant aucune courbe exception- 

 nelle, l'invariant I s'exprime à l'aide du genre numérique p„ et du genre 

 linéaire /j1" {Curvengeschlecht de Nôlher), par la formule 



1 = \-2p„ ~ p"^-hç). 



La dépendance ainsi établie (au moins pour certaines surfaces) entre le 

 nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce et les genres 

 numérique et linéaire /;„ et /)'", paraîtra sans doute bien remarquable. 

 Elle établit un lien entre deux ordres de considérations extrêmement diffé- 

 rents. 



» 4. Faisons encore une application de la formule (i) au cas d'une sur- 

 face unicursale. Soit une surface unicursale définie en coordonnées homo- 

 gènes par les équations 



«■,•=,/;(«. 1^. r) («■ = r , 2, 3, 4), 



les /étant des polynômes homogènes de degré « en a, |3 et y. On suppose 

 que les courbes /, = o aient a points simples communs ne répondant d'ail- 

 leurs à aucune disposition particulière. Dans ces conditions, on a, pour la 

 surface ainsi définie, 



, ( /t — I ) ( « — 2 ) 

 m = n--a, p=- -^ -, ^^ — a + \. 



» Quant au nombre N, il est égal à 'i(n — xf , comme le montre un 

 calcul facile. 



» La formule (i) donne alors 



?o^ 



o. 



Il devait en être ainsi, puisque la surface, étant unicursale, a toutes ses 

 intégrales doubles de seconde espèce réductibles à la forme 



//(S-^)*^- 



U et V étant rationnelles en x, y et ;. 



)> 5. Je termine en complétant un résultat que j'ai déjà indiqué sur les 

 périodes des intégrales doubles et sur une classe d'équations différentielles 

 linéaires {Comptes rendus, i3 janvier 1902). Soit une surface algébrique 



/(.r,,r, z, -/) = o 



