SÉANCE DU 22 FÉVRIER 1904. 4^7 



déduire nn autre élément en effectuaul l'une des trois opérations sui- 

 vantes : 1° prendre un élément focal ; 2'' prendre un élément conjugué; 

 3° prendre un clément harmonique. 



» En répétant ces opérations, dans un ordre quelconque, on en déduira 

 une suite illimitée d'éléments; cet ensemble forme ce que j'appelle un 

 groupe de réseaux et de congruences. Il est clair qu'un tel groupe est défini 

 par un seul de ses éléments. 



» Donnons à un réseau particulier du groupe deux indices caractéris- 

 tiques quelconques/» et q {p et. q sont des nombres entiers positifs, négatifs 

 ou nuls), et appliquons la règle suivante : 



» 1° La première congruence focale d'un réseau{p, q) est (p, y + 1); la 

 deuxième congruence focale de ce réseau est (p -\- i,q). 



» Inversement : Le premier réseau focal d'une congruence (p, q) est 

 {p, q — \)\ le deuxième réseau focal est (p ~ i , q). 



» 1" Une congruence conjuguée à un réseau (p, q) est l^p -h i, q -{- ^ )• 



» Inversement : Un réseau conjugué à ur\e congruence {p, q) est 



(p-i,q- >)■ 



» 3° Une congruence harmonique à un réseau. (/>, q) est (/?, q). 



n Inversement : Un réseau harmonique à une congruence (^p, y) est (p, q). 



» On pourra alors faire correspondre à chaque élément du groupe deux 

 nombres qui sont les nombres caractéristiques de cet élément. 



» Remarque. — On peut toujours passer de l'élément initial du groupe à 

 un autre d'une infinité de manières ; il va lieu de se demander si le chemin 

 suivi ne change pas les nombres caractéristiques. Ces nombres ne peuvent 

 varier que si le groupe considéré est nu groupe particulier; c'est ce qui 

 résulte d'ailleurs des propriétés qui vont suivre. 



» Désormais, je prendrai comme point de départ un réseau O auquel 

 je donne des indices nuls; le groupe d'éléments obtenus sera dit un 

 groupe O. Pour ne pas trop étendre celle Note, je me borne ici à caracté- 

 riser les éléments dont les nombres caractéristiques p et q sont positifs. 



» Un réseau M(x,,X2, ...,x„), avant les nombres caractéristiques (p, q), 



est tel que l'équation du réseau admette /n solutions (y, , y, y„) de telle 



sorte que 



. im^im- ?=<- ')■ 



I.e nombre n -h m esl le rang du réseau M. 



