468 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Une conçruence G avant pour paramètres directeurs (X, X„^ 



a pour nombres caractéristiques /9, q, si l'équation de L^place à laquelle 

 satisfont les fonctions X admet /n solutions (Y,, ..., Y,„) telles que 



Le nombre n -\- m est le rang de la congruence G. 



» Cela posé, la pliqiar-t des problèmes de la géométrie à deux indéter- 

 minées rentrent dans le type suivant : 



» Déterminer un élément qui appartient de deux façons différentes à un 

 groupe O. 



» Je suppose que dans la première manière les nombres caractéristiques 

 d'un élément soient y> et q; que dans la secoiule ceux du même élément 

 soient />' et q' . Les nombres a,=^p' — p et [î = </' — q sont les mêmes pour 

 tous les éléments du groupe; ces nombres a et (3 sont les indices caracté- 

 ristiques an groupe. Ou peut évidemment cbanger les signes des deux in- 

 dices, et par conséquent les supposer positifs, s'ils sont de même signe; 

 c'est ce que je ferai désormais. 



» Cela posé, on |)eut énoncer le résultat siuvanl : 



» Tous ces problèmes se ramènent à la recherche d'une équation E^ (ou à 

 une forme particulière de ces équations), c'est-à-dire, d'une équation de 

 M. Moutard : 



du ôv 



= MH, 



admettant r solutions 6,, O.^, .... 0^ dont la somme des carrés est égale à U + V. 



» Il y a lieu de distinguer plusieurs types parmi ces fquations. 



M Tout d'abord, si aucune des fonctions U et V ne se réduit à une 

 constante, l'équation est du type (o, o). 



» Si V est constant, et si de plus 



l'équation est du tvpe (o, a). 



