SÉANCE DU 'il FÉVRIER igo^. 

 or, si les modules des racines a,, v.., de l'équation 



(2) A+C(P= + Q)7. + Ea= = o 



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ne sont pas identiques (soit | a, | <^ i oc^ | ), le rayon de convergence de la 

 série (s) a pour expression le module de la racine de moindre module de 

 l'équation (2j, en sorte que 



lUîl 



'«-1 



=: Inn 



y«-i 



y« 



Il s'ensuit que 



lim 



V \' 



U„+, L'„ 



|E«-4-F| X |(/t — i)A 4-B 



X lim 



X 



V, 



E« 



A(/i — i)H-B 



X.lim 



X Imi 



./«-. 



y«-i 



A(/* 



+ Br 



-;^ lA/n-Bi 



inn 





> 



>i. 



u, 



cr fjui prouve que la série (S) converge: la suite des réduites ^^ v^', ■••) 



'0 '1 



YT^, ■■• est donc elle-même convergente dans celte hypothèse. 



» On voit aussi aisément que la série (S) diverge si les racines de l'équa- 

 lion (2) sont idenlK/ues. 



» CoitoLLviKE. — Laguerre {OKnvres. passim) a montré que les fonc- 

 tions Z{z) vérifiant l'équation différentielle 



(a: + b){c:- + f/)^ = {/>:■ +q)Z + II(r), 



ofi rt, 6, c, d, /), q sont des constantes quelconques et n(s) un polynôme quel- 

 conque en :■, admettent des développements en fractions continues qui rentrent 

 dans la forme que nous venons d étudier. 



» On peut donc appliquera ces développements les conclusions précé- 

 demment indiquées et un calcul facile montre alors que la condition de 

 convergence se réduit à celle-ci : le point z doit être en dehors de la cou- 

 pure rectiligne joignant les points d'afhxes , — -. Les développements 



