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doit être associée une autre classe C au multiplicateur f '. Le nombre des 

 variables et leur répartition en séries doivent être les mêmes dans ces deux 

 classes. 



» i" A un multiplicateur p^i vcvoàp correspondrait une classe singu- 

 lière, réelle et qui est sa propre associée. Dans chacune des sous-classes 

 qui la composent le nombre l{in + i +p) doit être pair (/ désignant le 

 nombre des séries, /n + i le nombre des variables dans chacune d'elles). 



» Supposons ces conditions remplies. 



» Groupons dans une même famille toutes les classes qui sont soit con- 

 juguées, soit associées. Toute forme invariante sera une somme de formes 

 invariantes partielles, ne contenant chacune que les variables d'une famille. 

 Le problème est ainsi ramené au cas où il n'y a qu'une famille. Ici trois cas 

 pourront se présenter. 



» Premier cas. — La famille comprend deux systèmes S, S' dont le pre- 

 mier contient v classes conjuguées Co, . . ., C^ , et le second leurs associées 

 respectives C^ , . . . , C^_,; «î) sera la somme de v formes complexes [C„C^], . . ., 

 [C^_, C'v_,] dont chacune est bilinéaire par rapport aux variables de deux 

 classes associées. Ces formes partielles sont conjuguées les unes des autres ; 

 il suffira donc de construire, puis de réduire l'une d'elles, telle que [CoC^]. 



» Soient *,, .. ., Si les séries qui forment la classe C^; {x^, ...,xf„^) les 

 variables de la série s^. Soient de même s[, . . ., s'i les séries qui forment 

 la classe associée C^; (jf, . . .,jkL) ^^^ variables de la série s'^. Soit enfin r 

 un entier quelconque qui ne surpasse ni /;?„ ni m^. Posons 



» L'expression générale de la fonction [CoCj,] sera 



OÙ les coefficients n sont des entiers complexes quelconques satisfaisant 

 à la condition a'"^amod/3. 



» Par des changements de variables qui n'altèrent pas la forme cano- 

 nique de S, on peut réduire toute expression de ce genre, si son discri- 

 minant n'est pas nul, à la forme type unique 



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