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de degré 2v, mais liés par les relations 



lesquelles expriment que la forme $ qui vient d'être construite est réelle. 

 » Ici encore, par un changement de variables qui n'altère pas S, on peut 

 réduire l'expression précédente au tvpe unique 



» Troisième cas. — La famille est constituée par une seule classe singu- 

 lière. 



» Soient encore s,, s.., ... les séries qui la composent, (.r^, . . ., .r,^, ) les 

 variables de la série s^. La fonction 4> sera une somme de formes partielles 

 invariantes, les unes [a^] bilinéaires par rapport aux variables de deux 

 séries s^, s^, les autres [aa] quadratiques par rapport aux variables d'une 

 seule série. 



» Les formes bilinéaires [ap] seront, comme dans le premier cas, des 

 fonctions linéaires (à coefficients réels) des formes invariantes élémen- 

 taires 



» Reste à construire les formes quadratiques [^la]. 



» Supposons d'abord^ impair, et soit r un entier tel que 2.r ne surpasse 

 pas m^. Posons 



Ga,= ^>?. - ixf.,,x:._, + .. .4- (- l)"2.« 



» Si p = 2, soit r un entier tel que 2.r ne surpasse pas m^-h i . Posons 

 G„, = œ'^.xf. -+- <^,< + xf._,(xfi, -^-xf.)-h... 



+ xf._,_, [ar«^, + kx^^,_, + ''^''~'^ xf._^,_,_ +...^xf^-h.... 



» La fonction [a(x] sera une fonction linéaire de ces formes invariantes 

 élémentaires. 



» L'expression générale de $ étant ainsi déterminée, il reste à la réduire. 

 On constate tout d'abord qu'on peut la ramener à une somme de formes 

 partielles $,, 'T>o, . .., ne contenant chacune que les variables d'une seule 

 sous-classe, et qu'on aura à réduire séparément. 



